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课件网) 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 八年级数学沪科版·上册 15.4 第3课时 含30°角的直角三角形的性质 新课引入 问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 分离 拼接 斜边AB是30°角所对 直角边BC的2倍. C A B 新知探究 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 等边三角形变成一个含30°角的直角三角形 新知探究 含30°角的直角三角形的性质 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 你还能用其他方法证明吗？ 新知探究 证法1 证明：在△ABC 中， ∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB， 连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． A B C D 证明方法：倍长法 ∴ BC = AB． E A B C 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴ BC = AB． 证明方法：截半法 证法2 新知探究 新知探究 知识要点 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵ 在Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A =30°， A B C ∴ BC = AB． 新知探究 判断对错 (1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的 一半． (2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. (3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． √ 新知探究 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm. 新知探究 例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( ) A．3 B．2 C.1.5 D．1 解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5. E C 方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． 新知探究 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)， 新知探究 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°， ∴AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. 新知探究 例4 一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午 8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上. （1）画出礁石C的 ... ...
