4．2 等差数列 4．2.1 等差数列的概念 [新课程标准] 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等差数列与一元一次函数的关系，掌握等差数列的性质． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4．通过理解等差数列的概念，培养学生数学抽象的核心素养；通过等差数列通项公式及性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养． 第一课时 等差数列的概念及通项公式 知识点一 等差数列的概念 (一)教材梳理填空 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)－10，－12，－14，－16，…是等差数列．( ) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( ) (4)等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为an＝2n－3.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．[多选]下列各组数列能构成等差数列的为( ) A．2,2,2,2,2 B．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3 C．3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3a D．a－1，a＋1，a＋3 解析：选ACD A．∵2－2＝2－2＝2－2＝2－2＝0，∴该数列是等差数列．B.∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差数列． 3. 已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为_____． 解析：依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，故m与n的等差中项为3. 答案：3 知识点二 等差数列的通项公式 (一)教材梳理填空 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)等差数列{an}的单调性与公差d有关．( ) (2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．( ) 答案：(1)√ (2)√ 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：选C ∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 3．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是( ) A．1,4 B．－1，－4 C．4,1 D．－4，－1 解析：选B n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4. 题型一 等差数列的通项公式及应用 [学透用活] 等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则 an－am＝(n－m)d 这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式． [典例1] 在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. [解] (1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d. 由已知得，解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 求等差数列通项公式的方法 (1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法． (2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式． (3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解． [对点练清] 1．在等 ... ...
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