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课件网) 3 抛物线 3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线的简单几何性质（二） ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.理解抛物线的简单几何特征. 2.能求与抛物线相关的轨迹问题. 知识点一 与抛物线有关的轨迹问题 求解与抛物线有关的轨迹的方程的常见方法： （1）定义法：若动点 的运动规律符合抛物线的定义，则可先设出轨迹方 程，再根据已知条件解方程中的参数，即可求得轨迹方程. （2）直接法：若动点的运动规律满足的等量关系容易建立，则可用点 的坐标 表示该等量关系，即可求得轨迹方程. （3）相关点法：若动点的运动是由另外一点的运动引发的，而点 的运动 规律已知（坐标满足某已知的曲线方程），则用点的坐标表示出点 的 坐标，然后将点的坐标代入已知曲线方程，即可得到点 的轨迹方程. （4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两个动曲线交点的轨迹问 题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得到 所求的轨迹方程. 知识点二 抛物线中的最值问题 抛物线中的最值问题的求法大体归结为“回归定义法”“构造目标函数法”和 “数形结合法”三类. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线 上任意一点的横坐标的最小值是0. ( ) √ （2）抛物线上任意一点到焦点的距离的最小值为 .( ) × 知识点三 抛物线的实际应用 与抛物线有关的实际问题，通过建立坐标系，利用坐标法，把实际问题转化为 几何问题.而建立坐标系的方法为：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条 坐标轴建立平面直角坐标系.这样可使得抛物线不仅具有对称性，而且曲线过原 点，方程不含常数项，形式更为简单. 【诊断分析】 一元二次函数的图象与抛物线之间的关系是什么？ 解：一元二次函数与抛物线是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、物理 学和实际应用中有着广泛的应用，一元二次函数的图象是一条开口向上或向下 的抛物线，其对称轴不一定是坐标轴，其顶点不一定在原点. 探究点一 与抛物线有关的轨迹问题 例1 已知动圆与直线相切，且与定圆 外切，那 么动圆圆心 的轨迹方程为_____. [解析] 方法一：设，由题意知， ， 易知，所以，整理得 . 方法二：由题意知，动点到点的距离比到直线 的距离多1， 则动点到点的距离与到直线 的距离相等， 根据抛物线的定义可知,点的轨迹是以直线为准线,点 为焦点的抛物线， 设抛物线方程为，则，得 故动圆圆心的轨迹方程为 . 变式（1） 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线平行于轴，且 与轴的交点为，点在直线上，动点的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ，求动点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 解：由条件可知，直线的方程为，因此点的横坐标为4. 设点 的坐标为，则点的坐标为，因此,. 因为 的充要条件是，所以， 即动点的轨迹方程为 . 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线. （2）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至 ，使得 ，求动点 的轨迹方程. 解： 设动点的坐标为，点的坐标为，则 ， ， . 因为，所以， ， 可得，，代入得 ， 整理得 ， 所以动点的轨迹方程为 . ［素养小结］ 解决与抛物线有关的轨迹问题的关键点： ①要深入理解求动点的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型.②求轨迹方程 时要注意检验，多余的点要除去，而遗漏的点要补上.③要明确抛物线的简单几 何性质，选相应的解题策略和拟定具体的解题方法. 探究点二 抛物线中的最值问题 例2（1） 已知定点，是抛物线上的动点，则 的最小值 为___. 1 [解析] 点是抛物线上的动点， 根据抛物线的对称性可设点 的坐标为，， 点的坐标为 ， ， 又， 当，即时， 取得最小值1. （2）已知点 ... ...
