第2课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(二) 【学习目标】 1.能用向量方法解决简单的二面角问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用. ◆ 知识点 两个平面的夹角 1.半平面:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为 . 2.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为 .这条直线称为 ,这两个半平面称为 . 3.二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 的两条射线,这两条射线的夹角称为 .二面角的平面角的取值范围为 . 4.已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量夹角
,如图. 5.平面与平面的夹角的概念和范围 平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中平面角 的二面角称为平面α与平面β的夹角. “向量法”求平面与平面的夹角的方法:设平面α与平面β的夹角为θ, 则cos θ=|cos|=. 【诊断分析】 阐述二面角的平面角分别为0,,π时的情况. ◆ 探究点一 平面与平面的夹角 例1 (1)如图所示,在空间直角坐标系D-xyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体, AA1=AB=2AD,点E为C1D1的中点,则二面角B1-A1B-E的平面角的余弦值为 ( ) A.- B.- C. D. (2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AB1=AA1=AC=2,∠BAC=120°,线段A1B1的中点为M,且BC⊥AM,点P在线段B1C1上,且B1P=B1C1,求二面角P-B1A-A1的平面角的余弦值. 变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,O为AB的中点. (1)证明:CO⊥平面ABB1A1; (2)若BB1=2,求平面A1BC1与平面ABC1夹角的余弦值. [素养小结] 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角α-l-β的平面角为锐角时的值θ,用坐标法的解题步骤如下: (1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1,n2; (3)计算:cos θ=. (4)不大于90°的二面角称为两平面的夹角. 拓展 如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=120°,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF. (1)求证:EF⊥平面BCF. (2)若点M在棱EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB的夹角最大 并求此时夹角的余弦值. ◆ 探究点二 已知二面角求长度 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是棱AB上一点,当二面角P-EC-D的平面角为时,||等于 ( ) A. 2- B. C. 2- D. 1 变式 如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=,点M,N分别在PA和BD上,BN=BD.若二面角M-BD-A的平面角的大小为,求M,N两点间的距离. [素养小结] 若题干已知二面角的平面角的大小,则利用坐标法解题的步骤如下: (设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角α-l-β的平面角为锐角时的值θ) (1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1,n2; (3)计算:cos θ=; (4)列方程并求解:根据θ的大小,结合已知条件得到与所求量有关的方程,解方程得到答案. 拓展 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, ∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=2,BC∥AD,若Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角Q-PD-A的平面角为,则△ADQ面积的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(0,4](课件网) §4 向量在立体几何中的应用 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系（二） ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.能用向量方法解决简单的二面角问题. 2.体会向量方法在 ... ... 