§2 排列问题 2.1 排列与排列数 【课前预习】 知识点 1.一定的顺序 2.不同排列的个数 诊断分析 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 【课中探究】 例1 解:由排列的定义可知,需要考虑元素顺序的问题,才是排列问题.①中任选两个数相加,没有顺序性,所以不是排列问题;④中任意两点确定一条直线,但是直线没有方向性,所以没有顺序,也不是排列问题.②③⑤在求解时都需要考虑元素的顺序,是排列问题. 变式 ③④ [解析] 根据排列的定义可知,③④需要考虑元素的顺序性,属于排列问题,故填③④. 例2 解:(1)画出树状图,如图所示. 由上面的树状图可知,所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.共12个. (2)画出树状图,如图所示.由上面的树状图可知,所有的四位数为1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24个. 变式 解:由题意作出树状图,如图所示. 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共24个. 拓展 D [解析] 记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法分两类.第一类,不选甲,作出树状图,如图所示. 第二类,选甲,作出树状图,如图所示. 综上,共有48种不同的排法. 例3 B [解析] 2名教师排在两边有2种排法,3名学生排在中间有种排法,所以共有2种排法.故选B. 变式 解:方法一:先从这6支队中选1支为主队,然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理可知,每组进行比赛的场数为6×5=30. 方法二:根据题意知,一场比赛就是在6支队中选2支队的一个排列,故有=30(种)安排方法,即每组共进行30场比赛. 拓展 B [解析] 因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有=4×3×2×1=24(种).故选B.§2 排列问题 2.1 排列与排列数 1.A [解析] ②③没有顺序,不是排列问题,故选A. 2.C [解析] 满足条件的点的坐标为(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),共能确定15个点.故选C. 3.B [解析] 画出树状图,如图所示.从树状图可知,由1,2,3,4,5,6可以组成20个“三位递增数”.故选B. 4.C [解析] 画出树状图,如图所示.由图知,共有12种参赛方式,故选C. 5.C [解析] 司机、售票员各有种分配方法,由分步乘法计数原理知,共有种不同的分配方法. 6.B [解析] 用1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1的四位数用树状图表示,如图所示.本题要求恰有三个相同的数字,由图可知满足题意的四位数共有12个.故选B. 7.AD [解析] 对于A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组,与顺序有关,是排列问题;对于B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,只要求选出即可,不是排列问题;对于C,从a,b,c,d中选出3个字母,只要求选出即可,不是排列问题;对于D,从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数,需要先选出再排序,是排列问题.故选AD. 8.BD [解析] 对于A,三名同学依次选择,每名同学都有4种方法,根据分步乘法计数原理可知有4×4×4=64(种)方法,A错误;对于B,所有可能的方法有64种,其中甲工厂没有同学去的安排方法有3×3×3=27(种),故甲工厂必须有同学去的安排方法有64-27=37(种),B正确;对于C,A同学必须去甲工厂,另外两名同学各有4种方法,故有4×4=16(种)安排方法,C错误;对于D,三名同学所选工厂各不相同,不同的安排方法有4×3×2=24(种),D正确.故选BD. 9.96 [解析] A种工作对应4种选择,B种工作对应4种选择,C种工作对应3种选择,D种工作对应2种选择,E种工作对应1种选择,则这5人承担工作的所有不同安排方法有4×4×3×2×1=96(种). 10.①③④ [解析] 对于①,植树和种菜是 ... ...
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