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课件网) 4.1 指数 4.1.1 根式 探究点一 次方根的概念 探究点二 根式的化简与求值 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能够在具体的数学情境中,了解 次方根及根式的含义. 2.理解并掌握 次方根的性质. 3.利用 次方根的性质解决有关问题，并培养学生数学运算的核 心素养. 知识点一 次方根的概念 一般地，如果,那么称为 的_____. （1）当为奇数时,正数的次方根是_____,负数的 次方根是 _____. （2）当_____时,正数的 次方根有两个,它们互为相反数. （3）需要注意的是，0的 次方根等于0. 次方根 一个正数 一个负数 为偶数 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意实数的奇次方根只有1个． ( ) √ （2）正数的偶次方根有两个，且互为相反数．( ) √ （3）的5次方根为 .( ) × （4） .( ) × 知识点二 根式的概念及其性质 1.根式的定义:式子____叫作根式,其中叫作根指数, 叫作被开方数. 2.根式的性质：对于，，当为奇数时,___;当 为 偶数时, _ _____. 【诊断分析】 我们已经知道,若,则,那么等于什么 呢 呢 解：;； . 探究点一 次方根的概念 例1（1）（多选题）若 ，则下列说法中正确的 是( ) A.当为奇数时，的次方根为 B.当为奇数时，的次方根为 C.当为偶数时，的次方根为 D.当为偶数时，的次方根为 [解析] 当为奇数时，的次方根只有； 当 为偶数时，因为，所以的次方根有2个，为． 故选 . √ √ （2）（多选题）若, ,则下列四个式子中有意义的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为,所以为正偶数,则,所以 有意 义,A正确; 取,则,此时 无意义,B错误; 因为的根指数为奇数,所以有意义,C正确; 对任意 , 恒成立，则有意义,D正确. 故选 . √ √ √ （3） 的3次方根是__. [解析] 因为，所以的3次方根是 . 变式（1）计算下列各式的值:____； ___. -3 [解析] . . （2） _____. [解析] 因为 , 所以 . （3）化简： 且为偶数_ _____； 若，则 _____. [解析] ①因为为偶数，所以当 时， ， ；当 时， ， .综上， ②因为，所以 ，所以 . ［素养小结］ （1）方根的个数：正数的偶次方根有两个，且互为相反数，负数没 有偶次方根；0的偶次方根只有一个，为0；任意实数的奇次方根只 有一个. （2）符号：根式
的符号由根指数
的奇偶性及被开方数
的符号 共同确定. ①当
为偶数，且
时，
为非负实数； ②当
为奇数时，
的符号与
的符号一致. （3）对于根式
，若存在
，
,
，则
. 探究点二 根式的化简与求值 例2（1）式子 的值为( ) A. B. C. D.1 [解析] .故选A. √ （2）化简： _____. [解析] . （3）化简: . 解： . 变式 化简下列各式: （1） ； 解：原式 . （2）（其中 ）; 解： . 因为，所以, . 所以原式 . 变式 化简下列各式: （3） . 解：因为，所以 ，所以原式 . ［素养小结］ 根式化简与求值的思路及注意点 思路：用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，其次选用相应公式化简. 注意点：①解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母的 根式时要注意字母的取值范围； ②正确区分
与
； ③运算时注意变形与整体代换，以及平方差、立方差、完全平方式 的运用，必要时要进行分类讨论. 理解与的含义：当为大于1的奇数时，对任意 都 有意义，它表示在实数范围内唯一的一个 次方根， .当为大于1的偶数时，只有当 时才有 意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个 次 方根，另一个是，；对任意 都有意义， . 练习册 1.［2025·江苏徐州二中高一期中］ ( ) A.2 B. C. D. [解析 ... ...
