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课件网) 4.1 指数 4.1.2 指数幂的拓展 探究点一 根式与分数指数幂互化 探究点二 实数指数幂的运算 探究点三 整体代换法求值 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能够在具体的数学情境中，了解有理数指数幂 ,且 ；,为整数，且和实数指数幂，且 ； 的含义. 2.对给出的具体数学问题，能够运用指数运算的性质进行指数运算. 知识点一 有理数指数幂 1.正数的正分数指数幂的意义 一般地，我们规定_____ . 2.正数的负分数指数幂和0的分数指数幂 （1）_ ___ ; （2）0的正分数指数幂为___; （3）0的负分数指数幂_____（0的0次幂无意义）. 0 没有意义 3._____,_____,_____,其中,,, . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) √ （2） .( ) × （3）用分数指数幂表示 为 .( ) × （4） .( ) √ （5） .( ) √ 2.（1）我们知道，那么 成立吗？ 解：成立. , ，所以 成立. （2）任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式吗 解：能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂 的形式,即，,，且 . 知识点二 无理数指数幂 1.无理数指数幂：且是一个无理数 是一个确定的实数. 2.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂,其运算性质与整 数指数幂的运算性质完全一致,即, , ,其中,,, . 探究点一 根式与分数指数幂互化 例1（1）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，所以A正确； 对于B， ，所以B错误； 对于C， ，所以C正确； 对于D，，所以D错误． 故选 . √ √ （2）［2025·上海师大第二附中高一期中］代数式 化成 分数指数幂为_____. [解析] . （3）［2025·江苏海门中学高一月考］已知，将 化为有 理数指数幂形式，则 __. [解析] . 变式（1）［2025·江苏常州北郊高级中学高一期中］设 ，则 的分数指数幂形式为( ) A. B. C. D. [解析] 原式 .故选D. √ （2）（多选题）［2024·江西新余高一期中］ 下列根式与分数指数 幂的互化中正确的有( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于选项A， ，故A错误； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C， ，故C正确； 对于选项D，，故D错误.故选 . ［素养小结］ 解决根式与分数指数幂互化问题的关键是熟记根式与分数指数幂的 关系式
和
，其中
，
，
且
． 探究点二 实数指数幂的运算 例2（1）已知，化简： . 解：因为，所以 . （2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）: ① ； 解：原式 . （2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）: ② ； 解：原式 . ③ ； 解： 原式 . （2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）: ④ . 解： 原式 . 变式 化简与求值. （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 变式 化简与求值. （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . ［素养小结］ 指数幂运算的基本原则与常用方法 （1）基本原则:式子中既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一 化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简． （2）常用方法:①有括号先算括号内的，无括号先做指数运算；② 化负指数幂为正指数幂;③化根式为分数指数幂;④化小数为分数；⑤ 底数是带分数，先要化成假分数. 探究点三 整体代换法求值 例3（1）［2025·江苏南京六校高一期中］已知 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由得 ，即 ，则 ， 所以 ，故 .故选C. √ （2）［2025·苏州高一检测］若，则 ____. [解析] 因为，所以， ，即 ，两边平方整理得，即 . 因为，所以 ，则 . （3）已知,,且,求 的值. 解： . 因为， ，所以 ， 又 ，所以，所以 . 变式（1）［2025·天津河西区期中］ ... ...
