专题 数学建模与数学探究 1.分析问题:根据表中的数据画出散点图.观察发现,这些点的连线是一条向上凸出的曲线. 根据这些点的分布情况,可以考虑用模型y=mlog2x+n来近似刻画x与y的函数关系. 解决问题: (1)最符合实际的函数模型为①y=mlog2x+n,理由如下. 根据所给数据知函数解析式需满足在[1,+∞)上有定义,所以②y=m+n不符合实际, 又随着时间x的增加,会员人数y增加速度越来越慢,所以③y=2x-m+n不符合实际. 只有①y=mlog2x+n同时满足上述两个要求,故y=mlog2x+n最符合实际. (2)选取表格中的两组数据(1,2),(2,5), 代入y=mlog2x+n得解得即y=3log2x+2. 当y=14时,3log2x+2=14,解得x=16,所以可预测第16个月,会员人数达到14万人. 2.分析问题:从函数角度去研究,把速度看作横坐标, 耗电量看作纵坐标,建立直角坐标系.根据数据画出散点图,结合散点图,发现模型M(v)=1000+a,M(v)=300logav+b不满足题意. 解决问题: (1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,它无意义,所以不合题意. 对于M(v)=1000+a,易知该函数是减函数,所以不合题意. 所以选M(v)=v3+bv2+cv,由表中数据可得解得c=150,b=-2,所以当0≤v≤60时,M(v)=v3-2v2+150v. (2)国道路段长为40 km,所用时间为 h, 所耗电量f(v)=·M(v)=·=v2-80v+6000=(v-40)2+4400, 因为0≤v≤60,所以当v=40时,f(v)min=4400(Wh). 高速路段长为50 km,所用时间为 h, 所耗电量g(v)=·N(v)=·(v2-60v+6400)=50×≥50×=5000,当且仅当v=,即v=80时等号成立, 所以g(v)min=g(80)=5000(Wh). 故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时, 该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为4400+5000=9400(Wh).专题 数学建模与数学探究 一、数学建模与数学探究的概念 1.数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数学模型解决问题的过程. 2.数学探究 数学探究是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程. 二、数学建模与数学探究的基本步骤与表现 数学建模的主要过程(如图)包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解模型,验证结果并改进模型,最终解决实际问题. 数学探究具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索或合作研究论证数学结论. 三、数学建模活动的主要过程 1.选题 “选题”就是选定研究的问题,选题来源有三: (1)阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题. (2)研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关问题. (3)用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题. 2.开题 “开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案. 开题主要做的工作是: (1)明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果; (2)选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案; (3)完成开题报告. 3.做题 “做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.做题要注意两个问题: (1)建立恰当的数学模型; (2)获取客观真实的数据. 4.结题 “结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程. 一、数学建模实例 1.观察实际情景,发现和提出问题 登山既可以游览户外美景,又可以锻炼身体,一举多得.从身体需氧的角度讲,当大气压低于0.65个标准大气压时,就会比较危险,那么常人登山的高度控制在多少米之内比较安全呢 2.收集数据 设海平面上(海拔高度为0米)是一个标准大气压,随着海拔高度的增加,气压越来越低.当海拔高度为1000米时,约为0.891个标准大气压;当海拔高度为10 000米时,约为0.317个标准大气压;当海拔高度为20 000米时,约为0.102个标准大气压. 3.分析数据 设海拔高度为x千米的地方,气压为y个标准大气压.根据 ... ...
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