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课件网) 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 探究点一 函数奇偶性的判断 探究点二 奇函数、偶函数的图象及应用 探究点三 利用函数的奇偶性求值 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义, 掌握函数奇 偶性的判断和证明方法; 2.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 知识点 函数奇偶性的概念及图象特点 偶函数 奇函数 条件 结论 图象特点 关于_____对称 关于_____对称 （1）奇偶性定义:如果一个函数是_____或是_____,则称这个 函数具有奇偶性. 轴 原点 偶函数 奇函数 （2）既不是奇函数也不是偶函数定义:设函数的定义域为 ,如果 存在,但,即函数 的定义域不关于原点对称，或对 任意的,都有,且存在,， ， ,则 既不是奇函数也不是偶函数. 【诊断分析】 （1）为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称 解：由定义知,若是定义域内的一个元素, 也一定是定义域内的一 个元素,所以函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原 点对称.如果所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具 有奇偶性. （2）对于定义在上的函数,若,则函数 一定是 偶函数吗 解：不一定.仅有 ,不足以确定函数的奇偶性,不满足定义 中的“任意”,故 不一定是偶函数. （3）函数 是偶函数吗 解：是. 符合偶函数的定义. （4）若函数的图象关于原点对称,则 的图象是否一 定过点 解：不一定.因为的定义域不一定包含 . （5）有没有一个函数，既是奇函数又是偶函数？ 解：有.如, ，既是奇函数又是偶函数. 探究点一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： （1） ； 解：因为的定义域是 ， 所以当时， . 因为 ， 所以 是奇函数. （2） ； 解：因为，所以解得 ， 即函数的定义域为， ， 则 既是奇函数又是偶函数. 例1 判断下列函数的奇偶性： （3） ； 解：因为的定义域为，所以当 时， ，又 ，所以 为偶函数. 例1 判断下列函数的奇偶性： （4） ； 解：的定义域为. 因为，且，所以 是非奇非偶函数. 例1 判断下列函数的奇偶性： （5） ； 解：因为函数有意义，当且仅当 解得或 ， 所以函数的定义域为 ，关于原点对称， 所以，又 ， 所以函数 是奇函数. 例1 判断下列函数的奇偶性： （6） 解：方法一：作出函数 的图象如图所示，因为 函数 的图象关于原点对称，所以函数是奇函数. 例1 判断下列函数的奇偶性： 方法二：当时，，此时 ， 所以 ， 所以 ； 当时，，此时 ， ， 所以 ； 当时，. 故对任意 ，总有，所以为 上的奇函数. 变式（1）设函数,的定义域为，且是奇函数， 是 偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.是偶函数 B. 是奇函数 C.是奇函数 D. 是奇函数 √ [解析] 易知选项A，B，C，D中的函数的定义域均为.因为 是 奇函数，是偶函数，所以, . 对于A，，故 是奇函数，故A错误； 对于B，，故 是偶函数，故B错误； 对于C， ，故 是奇函数， 故C正确； 对于D，，故 是 偶函数，故D错误.故选C. （2）判断下列函数的奇偶性： ①， ； 解：因为函数的定义域不关于原点对称，所以函数 ， 既不是奇函数也不是偶函数. （2）判断下列函数的奇偶性： ② ； 解：依题意知函数的定义域为 ， 又 ， 所以函数 是偶函数. ③ ; 解：函数的定义域为且 ，不关于原点对 称，所以该函数是非奇非偶函数． （2）判断下列函数的奇偶性： ④ 解：的定义域关于原点对称. 当 时，,所以； 当时， ，所以. 所以 为奇函数. （2）判断下列函数的奇偶性： ［素养小结］ 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法： （2）图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数； ... ...
