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课件网) 4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图象 第2课时 指数函数的性质与图象的应用 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域； 2.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断； 3.掌握指数函数在现实生活中的应用; 4.掌握指数函数的综合性问题. 知识点一 与指数函数有关的复合函数 函数且的定义域、值域可转化为函数 进行研究，其 中_____.若的定义域为，则的定义域为___.函数 的值 域要根据的值域及函数 的单调性研究. 【诊断分析】 函数 的定义域是___，值域是_____. 知识点二 指数函数且 的单调性的应用 1. 的取值与单调性 当时,指数函数在上单调递减，若,则___ ; 当时,指数函数在上单调递增，若,则___ . 2.单调性的应用———解指数不等式 对形如 的不等式的讨论： 当时， _____； 当时， _____. 【诊断分析】 （1）不等式 的解集是_____. （2）若且，则实数 的取值范围是_____. 探究点一 指数型函数的定义域和值域 例1 求下列函数的定义域和值域： （1） ； 解：要使函数有意义，则,得,解得 ,故该函数的定义域为 . 当时，,则,则 ,故该函数的值域为 . （2） ； 解：要使函数有意义，则,得,即,故该函数的定义域为 .当 时，,故该函数的值域为 . （3） ； 解： ,则该函数的定义域 为 . 设,则,则,故该函数的值域为 . （4） . 解：要使函数有意义,则,解得,所以函数 的定义域为 .因为,所以,则函数的值域为 且 . 变式（1） [2023·山东滨州北镇中学高一期末]若函数 的 定义域为，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. [解析] 由题意可得对任意恒成立，即 对任 意恒成立，因为在上单调递增，所以 ，即 对任意恒成立，则，解得 ， 所以实数的取值范围为 .故选B. （2）[2023·江西新余高一期末]已知函数且 在区 间上的最大值是14，则 的值为( ) D A.3 B. C. D.3或 [解析] 令，则. 当 时，由，得，因为函数在 上单 调递增，所以，解得（舍去）. 当 时，由，得，因为函数在 上 单调递增，所以，解得（舍去）. 综上，或 .故选D. ［素养小结］ 函数 的定义域与值域的求法： （1）形如的函数的定义域就是 的定义域. （2）形如的值域，应先求出的值域，再由函数 的单调性求 出的值域.若的取值范围不确定，则需对 进行分类讨论. 探究点二 简单的指数不等式的解法 例2（1） 不等式 的解集为_____. [解析] 因为，所以,因为在 上是增函数，所以 ，解得.故原不等式的解集为 . （2）已知且，求 的取值范围. 解：①当时，因为，所以，解得 当时，因为，所以，解得 . 综上所述，当时，的取值范围是； 当时， 的取值范围是 . 变式（1） 不等式 的解集为_____. [解析] 因为，所以，又在 上单调递增， 所以，即，解得 或 ，所以原不等式的解集为 . （2）已知，则 的取值范围是_____. [解析] ，在 上是增函数， 又 ,，解得.故 的取值范 围是 . ［素养小结］ 简单指数型不等式的解法： （1）指数型不等式且 的解法： 当时，可化为 ； 当时，可化为 . （2）当不等式的形式不是同底指数式的形式时，要先进行变形将不等式两边的 底数进行统一，此时常用到以下结论：且 ， 且 等. 探究点三 指数型函数的单调性 例3（1） [2024·云南昆明高一期末]函数 的单调递增区间为 ( ) B A. B. C. D. [解析] 令，易知在 上单调递减，在 上单调递增，又在 上单调递增，所以由复合函数的单调性可知， 函数的单调递增区间为 .故选B. （2）函数 的单调递增区间是_____. [解析] 设，，则在上单调递减，在 上单调递增.令，得，所以当 时， ，即，所以 ，所以 的单调递增区间是 . 变式 若函数在区间 上是减函数，请写出一个符 ... ...
