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课件网) 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.能够在具体的数学问题情境中,得出对数的概念； 2.由指数运算与对数运算的关系,得出对数运算的性质； 3.能够利用对数运算的性质进行对数运算. 知识点一 对数及相关概念 1.对数的概念：在表达式且,中，当与 确 定之后，只有唯一的能满足这个式子，此时，幂指数称为以为底 的_____， 记作_____,其中称为对数的_____， 称为对数的_____. 对数 底数 真数 2.常用对数：以____为底的对数称为常用对数,即 是常用对数,通常简写为 _____. 3.自然对数：在科学技术中，常使用以无理数 为底的对数，以 __为底的对数称为_____,自然对数 通常简写为_____. 10 自然对数 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）是与 的乘积.( ) × （2）可化为 .( ) × （3）对数运算的实质是求幂指数.( ) √ 2.（1）如何准确理解指数式与对数式的关系？ 解:指数式和对数式的关系如图所示. （2）在对数概念中,为什么规定且 呢 解:①若，则取某些数值时，不存在，因此规定 不能小于0. ②若，则当时，不存在，当时，则 有无数个值， 与函数定义不符，因此规定 . ③若，则当时，不存在，当时，则 有无数个值， 与函数定义不符，因此规定 . 知识点二 对数的性质 1._____没有对数. 负数和零 2.当且 时, （1） ___; （2） ___; （3） ___; （4） 的充要条件是_____; （5） ___. 0 1 探究点一 对数的概念 例1 已知函数且，若，则 _____. [解析] 由题知，则 . 变式 [2023· 贵州贵阳高一期末] 使式子有意义的 的取值范 围是 ( ) C A. B. C.且 D. [解析] 要使式子有意义，则解得且 . 故选C. ［素养小结］ （1）要注意对数中的底数和真数与指数中的底数和幂指数的对应关系. （2）在对数中，对底数和真数的范围要求是求解自变量取值范围的关键. 探究点二 指数式与对数式的互化 例2（1） [2024·石家庄精英中学高一期末] 已知, 且，则 的值为____. 54 [解析] 因为,且 ， 所以,，则 . （2）将下列指数式与对数式互化： ① ; 解：化为指数式是 . ② ; 解：化为指数式是 . ③ ; 解：化为指数式是 . ④ ; 解：化为对数式是 . ⑤ ; 解：化为对数式是 . ⑥ . 解：化为对数式是 . 变式（1） 已知,,，则 ( ) D A. B. C.2 D.3 [解析] 设，则, , ， ，整理得 ，又,， ， ，即 .故选D. （2）将下列各等式化为相应的对数式或指数式： ① ； 解：因为，所以 . ② . 解：因为，所以 . ［素养小结］ 指数式与对数式互化时应注意的问题： （1）利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变. （2）对数式的书写要规范：底数要写在符号“ ”的右下角，真数正常表示. 探究点三 利用对数的性质求值 例3（1） 求下列各式的值： ① ___； ② ___； ③ ____； ④ ___. 3 0 1 （2）求下列各式中 的值： ①， _____； 1000 [解析] 因为，所以，所以 . ②， ___； 9 [解析] 由，可得，所以 . ③, ___； [解析] 由，可得 . ④， ___. -4 [解析] 由,可得,所以,所以 . （3）计算： ① ___; 4 [解析] . ② __. [解析] 原式 . 变式（1） 已知 ，且 ，则( ) C A. B. C. D. [解析] ， ， ， ,,,, , ,,,, . 故选C. （2）求下列各式的值： ① ; 解：因为，，所以原式 . ② ; 解：原式 . ③ ; 解：原式 . ④ . 解：原式 . ［素养小结］ 1.利用对数性质求解的两类问题的解题方法： （1）求多重对数式的值，应从内到外求，如求的值，先求 的 值，再求 的值； （2）已知多重对数式的值，求变量的值，应从外到内求，逐步脱去“ ”后再求 解. 2.注意对数恒等式 的应用. 探究点四 综合应用 例4（1） 已知 ... ...
