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课件网) 4.3 指数函数与对数函数的关系 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象 间的对称关系； 2.能结合函数的图象与性质解决一些综合问题. 知识点 指数函数与对数函数的关系 1.反函数 （1）反函数的定义 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个 的值，只有唯一的___ 与之对应，那么是的函数，这个函数称为 的_____，函数 的反函数记作 . 反函数 （2）反函数的性质 ①函数的定义域与的_____相同，函数 的值域与 的_____相同. ②与 的图象关于直线_____对称. ③如果是增函数，那么是____函数；如果 是减函 数，那么 是____函数. ④若函数的图象上有一点，则点_____在其反函数 的 图象上. 值域 定义域 增 减 2.指数函数与对数函数的关系 （1）指数函数与对数函数且 _____. （2）指数函数与对数函数且 的图象关于 _____对称. 互为反函数 直线 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的反函数是 .( ) × [解析] 函数的反函数是 . （2）函数的反函数的值域为 .( ) × [解析] 函数的反函数的值域是原函数的定义域，故 的反函数 的值域为 . （3）函数的图象与的图象关于直线 对称.( ) × [解析] 互为反函数的图象关于直线对称，所以函数 的图象与 的图象关于直线对称，函数的图象与 的图象关于 直线 对称. 2.函数与且 的定义域和值域有什么关系？ 解:且的定义域为，值域为， 且的定义域为，值域为 ，即它们的定义域和值域互换. 探究点一 求简单函数的反函数 例1 求下列函数的反函数. （1） ; 解：由得 , 所以函数的反函数是 . （2） ; 解：的底数是,它的反函数是指数函数 . （3） ; 解：由得，故，对调其中的和 得 .因为的值域是 ,所以它的反函数为 . （4） . 解：因为,所以,故,对调其中的和 得 .因为函数的值域是 ，所以 的定义域为,即函数 的反函数是 . 变式（1） 已知是函数的反函数，则 的值为( ) A A.0 B.1 C.10 D.100 [解析] 因为是函数的反函数，所以，所以 .故选A. （2）函数与函数 的图象关于( ) B A.轴对称 B.直线对称 C.原点对称 D. 轴对称 [解析] 函数与函数互为反函数，故它们的图象关于直线 对 称.故选B. ［素养小结］ 求反函数的一般步骤： （1）先确定原函数的值域，即反函数的定义域. （2）对调原函数解析式中的和，解出 . （3）写出反函数. 注意：求反函数时，若原函数 的定义域有限制条件，则其反函数的定 义域只能是根据原函数的值域来求. 探究点二 反函数性质的应用 例2（1） 函数的反函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. [解析] 的定义域即为函数的值域， ， ，故的定义域为 . （2）已知函数是增函数，它的反函数是,若 （2）, （3）,则, 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法确定 [解析] 因为是增函数，所以其反函数也是增函数，所以 , (3)> (2),即 .故选A. （3）[2023 辽宁沈阳实验中学高一月考] 设函数 存在反函数 ，且函数的图象过点，则函数 的 图象一定过点_____. [解析] 因为函数的图象过点，所以， 解得 ，即的图象过点，所以的图象过点， 的图象过点，所以的图象过点 . 变式（1） 已知函数的图象过点 ，且其反函数 的图象过点，则 是( ) A A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 [解析] 因为函数的图象过点，所以函数的图象过点 ，又函 数的图象过点，所以解得 即 .易知函数 为增函数，且为非奇非偶函数.故选A. （2）下列说法中正确的是( ) C ①偶函数一定不存在反函数； ②若函数和其反函数 的图象存在交点，则交点必定在直线 上； ③函数和其反函数 的图象的交点可能有无数个； ④在定义域上单调递增的函数必存在 ... ...
