本章总结提升 【知识辨析】 1.√ [解析] y=f(x)与y=2-x互为反函数,所以f(x)=lox=-log2x. 2.× [解析] 幂函数y=x2的图象过第二象限. 3.× [解析] 函数y=log3x的反函数的值域是原函数的定义域,故y=log3x的反函数的值域为(0,+∞). 4.× [解析] 根据题意得x2-2=x,解得x=2或x=-1.又x2-2>0且x>0,所以x=2. 5.× [解析] 函数t=-x2+1在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,根据复合函数的单调性知,y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 6.× [解析] a=log45>1,b==1,c=log30.4<0,故c
2时,f(x)∈[4,+∞),∴解得10得x>5或x<-1,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.故选D. (2)∵幂函数f(x)=q(q∈R,p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在定义域上是偶函数,∴q=1,且-p2+2p+3为正的偶数,易知-p2+2p+3的最大值为4,此时p=1,当-p2+2p+3=2时,p不为整数,∴p=1,∴p+q=2.故选C. (3)设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象经过点(2,),所以2α=,解得α=,所以f(x)==.易知函数f(x)=的定义域为[0,+∞),单调递增,值域为[0,+∞),是非奇非偶函数,故A,B正确,C错误;当0,故D正确.故选ABD. 变式 (1)C (2)A (3)ABD (4)1 [解析] (1)因为函数f(x)=log2(ax2-x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以y=ax2-x在区间(1,+∞)上单调递增,且ax2-x>0在x∈(1,+∞)上恒成立,所以解得a≥1.故选C. (2)因为f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为对任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有>0,所以函数y=f(x)是增函数.当m=2时,f(x)=x6,该函数在R上不单调,不符合题意;当m=-1时,f(x)=x3,该函数在R上为增函数.所以f(log2x)<8等价于f(log2x)0,得f(|x|)=lo|x|, ∵f(|-x|)=f(|x|),∴y=f(|x|)为偶函数,故A正确 ... ... 