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课件网) 6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.了解直线上向量的坐标的概念,能够表示直线上向量的坐标； 2.理解直线上向量的运算与坐标的关系,并能进行正确的运算. 知识点一 直线上向量的坐标 1.给定一条直线以及这条直线上一个单位向量，对于直线上任意一个向量 ， 一定存在唯一的实数，使得，则称为向量 的_____. 2.若直线上向量的坐标为，则____，而且：当时，的方向与 的 方向_____；当时，是零向量；当时，的方向与 的方向_____. 坐标 相同 相反 知识点二 直线上向量的运算与坐标的关系 文字语言 符号语言 直线上两个 向量相等 直线上两个向量相等的充要 条件是它们的坐标_____ 设， ， 则 直线上求两 个向量的和 直线上两个向量和的坐标等 于两个向量的坐标的____ 设， ， 则 _____ 数轴上两点 间的距离 设, ，则 数轴上的中 点坐标公式 设，，是线段 的中点，则 _____ 相等 和 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线上向量的坐标是,则 . ( ) √ （2）已知数轴上点的坐标为3,向量的坐标为5,则点的坐标为 . ( ) × [解析] 设点的坐标为，为坐标原点，则的坐标为，又点 的坐标为3, 所以的坐标为3，因为，所以的坐标为 ，所以 . （3）,,,是数轴上任意四点，则 的坐标为0. ( ) √ 探究点一 直线上向量的坐标 例1（1） 如图，求出直线上向量， 的坐标. 解：因为的始点在原点，所以由的终点坐标可知 的坐标为3. 因为，所以的坐标为 . （2）已知是直线上的一个单位向量，向量与都是直线 上的向量，分别在 下列条件下写出与 的坐标： 解：由直线上向量的坐标的定义可得： ①， ; 向量的坐标为2，向量的坐标为 . ②， . 解： 向量的坐标为0，向量的坐标为 . 变式 如图所示，点，，，，均在直线上，向量 为单位向量，则 向量， 的坐标分别是( ) D A.3,2 B.2,4 C.4, D.2, [解析] 由题意可得，的坐标为，的坐标为 .故选D. ［素养小结］ 直线（数轴）上向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，如果向量的始点 在原点，那么向量的终点对应的数就是该向量的坐标. 探究点二 直线上向量的坐标运算 例2 （多选题）在数轴上有，，三点，其中点， 的坐标分别是2和 ，且满足，则点 的坐标可以是( ) BD A. B. C. D. [解析] 设点的坐标为.若点在线段上，则， ，因 为，所以，解得. 若点在点 左侧，则，，因为，所以 ，解得.易知点不可能在点右侧. 综上，点的坐标为或.故选 . ［素养小结］ 直线上向量的运算的关键是搞清楚直线上每个点的坐标及表达向量的有向线段 的始点和终点. 探究点三 数轴上两点间的距离、中点坐标 例3 设数轴上两点，的坐标分别为 ，3，求： （1）向量的坐标以及与 的距离； 解：，的坐标分别为，3，的坐标为,,即 ， 两点之间的距离为4. （2）线段 中点的坐标. 解：设线段中点的坐标为,则,即线段 中点的坐标为1. 变式 已知数轴上的点，， . （1）若点是线段的一个三等分点，求 的值； 解:因为点是线段 的一个三等分点， 所以或 . 因为，， ， 所以或 ， 所以或 . （2）求 的最小值. 解:因为，当且仅当与 同向时取等号， 所以当时， 取得最小值5. ［素养小结］ 数轴上向量的坐标的求法：先求出（或寻找已知）相应点的坐标，再计算向量 的坐标.求数轴上向量长度的方法：先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求 长度. 注意：首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意 向量坐标运算公式的顺序. 1.如图所示，向量， 的坐标分别是( ) C A.，2 B.，4 C.2， D.2，2 [解析] 由题可知，，,,所以向量， 的坐标分别是2， .故 ... ...
