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课件网) 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 第1课时 正弦函数的性质 探究点一 正弦函数的定义域与值域 探究点二 正弦函数的奇偶性与周期性的 综合应用 探究点三 正弦函数的单调性及其应用 探究点四 正弦函数的零点 【学习目标】 1.依据正弦线理解正弦函数的性质； 2.会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调性和零点. 知识点一 正弦函数、周期函数的定义 1.正弦函数：对于任意一个角,都有唯一确定的正弦 与之对应， 因此 是一个函数，一般称为_____. 正弦函数 2.（1）周期函数：一般地,对于函数,如果存在一个_____常数 , 使得对定义域内的_____ ,都满足_____,那么就称函 数为周期函数.非零常数 称为这个函数的_____. 非零 每一个 周期 （2）最小正周期：对于一个周期函数 ，如果在它的所有周期中存 在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为 的_____. 最小正周期 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）所有的周期函数都有最小正周期.( ) × [解析] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如 为常数)， 是周期函数，但是不存在最小正周期. （2）一个周期函数的周期有很多，若有最小正周期，则最小正周期 只有一个.( ) √ （3）设周期为的函数的定义域为，若 ，则必有 且 ，因此周期函数的定义域一定是无限集.( ) √ （4）如果存在一个常数,使得对定义域内的每一个 ,都满足 ,那么就称函数为周期函数， 为这个函数的周 期.( ) × [解析] 应为非零常数. （5）若存在一个非零常数，使得对定义域内的每一个 ，都满足 ，则是 的周期.( ) √ [解析] ，所以是 的周期. 2.（1）满足条件为常数且的函数 是周期函数吗？如果是，给出一个周期;如果不是，说明理由. 解：函数 是周期函数. ， ， , 函数是周期函数，且 就是它的一个周期. （2）满足条件为常数且， 的函 数 是周期函数吗？如果是，给出一个周期；如果不是，说 明理由. 解：函数 是周期函数. ， ， , 函数是周期函数，且 就是它的一个周期. 知识点二 正弦函数 的性质 函数 性质 定义域 值域 _____ 最值 当且仅当 ，时，函数 的最大值 ___； 当且仅当 ，时，函数 的最小值 ____ 1 函数 性质 奇偶性 ____函数，其图象关于_____中心对称 周期性 最小正周期为____ 单调性 在_____ 上单调递增；在 _____ 上单调递减 零点 奇 原点 续表 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若函数 的定义域不是全体实数，则它的值域就不可能 是 .( ) × [解析] 当的定义域为 时，由正弦线可得函数的值域 为 ，故此说法错误. （2）函数的值域为 .( ) √ （3）若,则的取值范围为 .( ) √ （4）函数 不是奇函数.( ) × [解析] 由诱导公式得 ， 因为， 所以函数 为奇函数,故此说法错误. （5）正弦函数在定义域上是单调函数.( ) × [解析] 正弦函数的定义域为，正弦函数在 上既有单调递 增区间又有单调递减区间，故此说法错误. （6）正弦函数在 上是增函数.( ) × [解析] 例如取,,则,但 ，不满足 增函数的定义，故此说法错误. 探究点一 正弦函数的定义域与值域 例1（1） [2023·北理工附中高一月考]函数 的值域 是( ) A. B. C. D. [解析] 正弦函数的值域为. 当 时，， 当 时，， 则函数 的值域为 ．故选D． √ （2）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 要使有意义，需满足解得且 ， 所以函数的定义域为 .故选B. √ 变式（1） [2024·四川眉山一中高一月考] 函数 的 最大值为___． 1 [解析] 因为的最大值为1,所以 的最大值为 . （2）已知，当时， 的取值构成的集合为 _____. [解析] 若,则或，则 的取值构成的集合 为 . ［素养小结］ 当且仅当 ，时，函数 取得最大值，即 ; ... ...
