滚动习题(五) 1.C [解析] 当a,b,c两两的夹角均为0°时,显然|a+b+c|=5;当a,b,c两两的夹角均为120°时,|a+b+c|==2.故选C. 2.D [解析] 因为a=(1,1),所以|a|=,所以a·b=|a||b|cos 45°=2,所以|3a+b|== =,故选D. 3.C [解析] ∵=(4,-3),=(2,-4),∴=-=(-2,-1),∴·=(2,1)·(-2,4)=0,∴C=90°,又||=,||=2,∴△ABC是直角三角形.故选C. 4.A [解析] 因为|a|=|b|=2,且a与b的夹角为120°,所以a·(a+b)=a2+a·b=22+2×2×=2,|a+b|=====2,所以a在a+b上的投影的数量为==1,故选A. 5.D [解析] 取线段AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC.以点O为原点,OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(2,0),D(1,).设点E(x,0),-2≤x≤2,则=(2-x,0),=(1-x,),所以·=(2-x)(1-x)=x2-3x+2=-.因为函数f(x)=-(-2≤x≤2)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=-,又因为f(-2)=12,f(2)=0,所以f(x)max=12,故·的取值范围是.故选D. 6.D [解析] 因为点A(0,1),B(-1,),所以=(0,1),=(-1,),所以||==1,||==2,则cos<,>===,因为<,>∈[0,π],所以<,>=,所以|×|=||·||sin<,>=1×2×sin=1.故选D. 7.BC [解析] 对于A,若a∥b,则3(3-t)-(t-1)=0,解得t=,故A错误;对于B,若a⊥b,则a·b=(t-1,3-t)·(3,1)=3(t-1)+3-t=2t=0,解得t=0,故B正确;对于C,由B选项知与b垂直的一个向量为m=(-1,3),|m|=,所以与b垂直的单位向量的坐标为±=±,故C正确;对于D,因为向量a与向量b的夹角为锐角,所以a·b>0且a,b不共线,由a·b=2t>0,得t>0,由A选项可知当a∥b时t=,所以t的取值范围为∪,故D错误.故选BC. 8.BD [解析] 对于B,延长AB,DC交于点M,如图①所示,因为正八边形的内角为,所以∠CBM=∠BCM=,则∠CMB=,因此BM=CM=,所以·=·(+)=·+·=4+2,故B正确;对于A,由图①可知=+,AM⊥MD,因此在上的投影即为=,故A错误;对于C,==+=8+4,·=-2,所以函数f(x)=|+x|= =,当x=时,f(x)取得最小值,f==2+,故C错误;对于D,过点P作直线AB的垂线,垂足为N,如图②所示,则·=·(+)=·,易知当点N在DC的延长线上时,·取得最大值4+2,当点N在GH的延长线上时,·取得最小值-2,所以·∈[-2,4+2],故D正确.故选BD. 9.既不充分也不必要 [解析] 由|a+b|=|a-b|,可得|a+b|2=|a-b|2,则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.当a,b同向,且|a|=|b|≠0时,a·b=|a||b|=|a|2>0;当a⊥b时,a·b=|a||b|cos
=0,a,b的模不一定相等.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件. 10. [解析] 因为对任意t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立,所以|a-tb|2≥|a-b|2,即a2-2ta·b+t2b2≥a2-2a·b+b2,所以b2t2-2a·bt+2a·b-b2≥0,所以Δ=4(a·b)2-4b2·(2a·b-b2)≤0.设a,b的夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以Δ=4(3b2cos θ)2-4b2·(6b2cos θ-b2)≤0,即9cos2θ-6cos θ+1=(3cos θ-1)2≤0,所以cos θ=. 11.[-8,24] [解析] 如图,作CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D,F,且CD与左半圆相切,切点为C,EF与右半圆相切,切点为E.·=||·||cos<,>,其中||cos<,>为在上的投影的数量.因为AB=4,所以AD=BF=2,当P与E重合时,||cos<,>取得最大值,最大值为4+2=6,此时·取得最大值,最大值为4×6=24;当P与C重合时,||cos<,>取得最小值,最小值为-2,此时·取得最小值,最小值为4×(-2)=-8.故·的取值范围是[-8,24]. 12.解:(1)x=2,则b=(1,2),因为λb=(λ,2λ),μc=(4μ,μ),所以λb+μc=(λ+4μ,2λ+μ). 因为a=λb+μc,所以解得所以λ+μ=. (2)因为a⊥(c-b),所以a·c-a·b=0, 即2×4+3×1-(2×1+3x)=0,解得x=3,所以b=(1,3), 故cos===. 13.解:(1)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,3),M(1,0),N(0,2),所以=(1,-3),=(λ,-3λ),=(0,-1),=(2,-3).因为N,O,B三点共线,所以=μ+(1-μ)=(2-2μ,2μ-3),则解得故λ的值为. (2)由(1) ... ... 