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第二章 专项突破练二 函数零点问题(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第二册

日期:2025-10-06 科目:数学 类型:高中课件 查看:30次 大小:7680025B 来源:二一课件通
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    专项突破练二 函数零点问题 题型一 例1 解:(1)由题意得f'(x)=+x-(a+1)==(x>0). 令f'(x)=0,得x=1或x=a(舍去), 则当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以函数f(x)有极小值,极小值为f(1)=-a-,无极大值. (2)由(1)得f'(x)=. ①若00,f(x)单调递增; 当a1时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=a处有极大值,在x=1处有极小值,且极大值f(a)=aln a+a2-(a+1)a=a<0, 极小值f(1)=-a-<0,又f(2a+2)=aln(2a+2)>0, 所以函数f(x)有1个零点. ②若a=1,则f'(x)=≥0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 此时f(1)=-<0,f(2a+2)=aln(2a+2)=ln 4>0,所以函数f(x)有1个零点. ③若a>1,则当00,f(x)单调递增; 当1a时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处有极大值,在x=a处有极小值,且极大值f(1)=-a-<0,显然极小值f(a)0,所以函数f(x)有1个零点. 综上所述,当a>0时,函数f(x)的零点个数为1. 变式 解:(1)由函数f(x)=,x∈(0,+∞),得f'(x)==, 令h(x)=-(ln x+1),则h'(x)=-,因为h'(x)<0对任意x∈(0,+∞)恒成立, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0, 所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=,故f(x)有最大值,无最小值. (2)函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数就是关于x的方程aex-ln x-1=0,即a=的解的个数,即为直线y=a与f(x)的图象的交点个数. 由(1)可知,f(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减,且f(1)=, 当x趋近于0时,f(x)趋近于-∞,当x趋近于+∞时,f(x)恒大于0且趋近于0, 作出函数f(x)的大致图象如图. 由图知,当a>时,直线y=a与f(x)的图象没有交点,则函数g(x)没有零点; 当a=或a≤0时,直线y=a与f(x)的图象只有一个交点,则函数g(x)只有1个零点; 当00). ①当a∈(0,1)时,>1.由f'(x)<0,得x>或01或00,即h'(x)>0,所以h(x)单调递增.因为h=+,h(1)=1,所以k的取值范围为. 变式 解:(1)当a=2时,f(x)=2ln x-x2+2x,则f'(x)=-2x+2,f(1)=1, 所以切线的斜率k=f'(1)=2,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0. (2)g(x)=f(x)-ax+m=2ln x-x2+m,g(x)的定义域为(0,+∞), 则g'(x)=-2x=. 由g'(x)=0,得x=1. 当≤x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当1g(e), 所以若g(x)在上有两个零点,则 解得10,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1-<0,f(e2)=2-=>0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<<1,f=-ln x1+=-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)上有唯一零 ... ...

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