本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1 (1)x+πy-π=0 (2)2 (3)A [解析] (1) 因为y=,所以y'=,则当x=π时,y'==-, 故曲线在点M(π,0)处的切线方程为y-0=-(x-π),整理得x+πy-π=0. (2) 对y=ln x+2求导得y'=.设曲线y=ln x+2在点P1(x1,y1)处的切线方程为y=kx+1-ln 2,则y1=ln x1+2,则曲线在点P1(x1,y1)处的切线方程为y-(ln x1+2)=(x-x1),即y=x+ln x1+1,所以=k,1+ln x1=1-ln 2,解得x1=,k=2. (3)设切点为P(x0,y0),y'=ex,则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线方程为y-=(x-x0),即y=x+(1-x0).则由题意知关于x0的方程b=(1-x0)有且仅有两个不等的根.设g(x)=(1-x)ex,则g'(x)=-xex,令g'(x)>0,得x<0,令g'(x)<0,得x>0,又g(0)=e0=1, 当x<0时,g(x)>0,g(1)=0,所以可作出g(x)的大致图象,如图所示.由图可知,若关于x0的方程b=(1-x0)有且仅有两个不等的根,则b的取值范围为(0,1).故选A. 变式 (1)B (2)y= y=- (3)1 [解析] (1)∵f(x)=exln x,∴f'(x)=ex,∴f'(1)=e,f(1)=0,∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=e(x-1),该切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e),(1,0),∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×e×1=.故选B. (2)当x>0时,y=ln|x|=ln x.设过坐标原点的直线与曲线y=ln x相切于点P(x0,ln x0),由y=ln x,得y'=,所以=,解得x0=e,所以P(e,1),则该切线的方程为y-1=(x-e),即y=,由曲线y=ln|x|的对称性,知另一条切线的方程为y=-. (3)由y=ex+1,得y'=ex,由y=ex+1,得y'=ex+1,设直线l与曲线y=ex+1,曲线y=ex+1的切点坐标分别为(x1,+1)和(x2,), 则直线l的斜率k==,所以x1=x2+1,直线l的方程为y-(+1)=(x-x1),所以-(+1)=(x2-x1),所以=1,即直线l的斜率为1. 题型二 例2 解:(1)因为y=ln(2x+1),所以y'=(2x+1)'=. (2)因为y=xln(1+x2),所以y'=ln(1+x2)+·x=ln(1+x2)+. (3)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, 所以y'=3x2+12x+11. (4)因为y=excos x+-t2,所以y'=(ex)'cos x+ex(cos x)'+()'-(t2)'=ex(cos x-sin x)+. (5)y=ln(2x+5)3+,令u=2x+5,t=u3,则y=ln t+, 所以y'=·(u3)'·(2x+5)'+'=·3(2x+5)2·2+=+=+. 变式 解:(1)y'=+ln x+x·=+ln x+1. (2)y'=(1-2x·(-2)-2sin=-(1-2x-2sin. 题型三 例3 (1)D (2)AD (3)BCD [解析] (1)因为f(x)=x2+ln x+mx-1在区间(1,2)上单调递增, 所以f'(x)=2x++m≥0在区间(1,2)上恒成立, 则m≥-当x∈(1,2)时恒成立. 设h(x)=-,x∈(1,2), 则h'(x)=-2+==,由x∈(1,2),可知h'(x)<0, 所以函数h(x)在(1,2)上单调递减,则h(x)0时,-x<0,所以f(-x)=-xe-x,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=xe-x(x>0),所以A正确.当x<0时,f'(x)=(x+1)ex,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又f(0)=0,当x<0时,f(x)<0,f(x)是定义在R上的奇函数,所以可作出f(x)的大致图象,如图所示.由图可知函数f(x)只有一个零点,所以B错误.由以上分析可知,当x=-1时函数取到最小值,最小值为f(-1)=-,由奇函数的性质可知,当x=1时,函数取到最大值,最大值为f(1)=,则对任意的x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤恒成立,所以C错误,D正确.故选AD. (3)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--=,由函数f(x)既有极大值也有极小值,得方程f'(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根.令h(x)=ax2-bx-2c,则h(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根,故所以ab>0,ac<0,bc<0,故选BCD. 变式 (1)C (2)B (3)2ln 3- [解析] (1)由题可知f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≥对任意x∈(1,2)恒成立.令h(x)=xex(x∈(1,2)),可得h'(x)=ex+xex=(1+x)ex>0,所以h(x)=xex在区间(1,2)上单调递增,所以h(x)>h(1)=e,故<,所以a≥,所以a的最小值为e-1.故选C. (2)方法一:f'(x)=3x2+a,则由题意知方程3x2+a=0有2个不等实根,所以a<0.由3x2+a=0得x1=-,x2=,易得函数f(x)在上单调递增,在上单调 ... ...
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