第10章 三角恒等变换 10.1 两角和与差的三角函数 10.1.1 两角和与差的余弦 【课前预习】 知识点一 1.cos αcos β+sin αsin β 知识点二 cos αcos β+sin αsin β 诊断分析 1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β. 2.cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°;cos(120°-60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60° 知识点三 cos αcos β-sin αsin β 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=. (2)cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=×-×=. 例2 解:(1)cos 22°cos 67°+sin 22°sin 67°=cos(22°-67°)=cos(-45°)=cos 45°=. (2)cos 19°cos 41°-sin 19°sin 41°=cos(19°+41°)=cos 60°=. (3)原式=cos(x+27°)cos(x+18°)+sin[(90°-(63°-x)]sin[(90°-(72°-x)]=cos(x+27°)cos(x+18°)+ sin(x+27°)sin(x+18°)=cos[(x+27°)-(x+18°)]=cos 9°. 变式 解:(1)coscos θ+sinsin θ=cos=cos=. (2)原式===. (3)cos 17°cos 43°+sin 17°sin 223°=cos 17°cos 43°+sin 17°sin(180°+43°) =cos 17°cos 43°-sin 17°sin 43°=cos(17°+43°)=cos 60°=. 探究点二 例3 (1) (2) [解析] (1)因为cos α=,α是第四象限角, 所以sin α=-=-=-.因为sin β=,β是第二象限角, 所以cos β=-=-=-, 则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. (2)∵α∈,∴+α∈,∴cos=-=-=-,∴cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=. 变式 解:(1)因为sin α=,α∈,所以cos α=-=-.因为cos β=-,β∈,所以sin β=-=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=. 拓展 解:∵sin β=,0<β<,∴cos β==. 又sin α=-,且π<α<2π, ①当π<α<时,cos α=-=-, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-; ②当≤α<2π时,cos α==, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. 综上所述,cos(α-β)的值为-或. 探究点三 例4 解:由cos α=,0<α<, 得sin α===. 由0<β<α<,得0<α-β<.又∵cos(α-β)=, ∴sin(α-β)===. 由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=, 又0<β<,∴β=. 变式 解:因为α,β为锐角且sin α=,cos β=, 所以cos α==,sin β==, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=, 由0<α<,0<β<,得0<α+β<π, 又cos(α+β)>0,所以α+β为锐角,所以α+β=.第10章 三角恒等变换 10.1 两角和与差的三角函数 10.1.1 两角和与差的余弦 1.C [解析] cos=coscos α+sinsin α=cos α+sin α. 2.B [解析] sin 70°cos 25°+sin 20°cos 115°= cos 20°cos 25°-sin 20°sin 25°=cos(20°+25°)=cos 45°=,故选B. 3.A [解析] 由sin Asin B0,即cos(A+B)>0,则cos C<0,即△ABC一定为钝角三角形,故选A. 4.A [解析] 由题意可得sin α=,cos α=, 故cos=coscos α+sinsin α=×+×=. 5.B [解析] === =.故选B. 6.A [解析] 因为β∈,sin β=∈,所以β∈,因为0<α<β,sin α=,所以α=,则cos β=-=-,cos α==, 则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=,故选A. 7.A [解析] 由sin α-sin β=,cos α-cos β=, 得sin2α+sin2β-2sin αsin β=,cos2α+cos2β-2cos αcos β=, 以上两式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=,故cos(α-β)=. 8.D [解析] 由<α-β<,sin(α-β)=,可得cos(α-β)=-, ... ...
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