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10.1.3 两角和与差的正切(课件 学案 练习)高中数学 苏教版(2019)必修 第二册

日期:2025-10-06 科目:数学 类型:高中试卷 查看:74次 大小:8025817B 来源:二一课件通
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    (课件网) 10.1 两角和与差的三角函数 10.1.3 两角和与差的正切 探究点一 正切公式的正用 探究点二 正切公式的变形使用 探究点三 正切公式的综合应用 【学习目标】 1.了解两角和与差的正切公式的推导过程. 2.掌握两角和与差的正切公式,并能灵活运用公式进行简单的求 值、计算与证明. 知识点 两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 两角差 的正切 2.两角和与差的正切公式的变形 (1) 的变形 _____. _____. _ _____. (2) 的变形 _____. _____. _ _____. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于任意 ,, 都成立.( ) × [解析] 当 时,等式不成立. (2) .( ) √ [解析] , , . 探究点一 正切公式的正用 例1(1) 已知,,求 的值. [解析] . (2)已知 , 均为锐角,,,求 的值. [解析] 因为, , 所以. 因为 , 均为锐角,所以,所以 . 变式1 [2024·南京六校高一月考] 已知 , 均为锐角, ,,则 的值为__. [解析] 因为 , 均为锐角,, ,所以 ,,故 . 变式2 已知 , 均为锐角,, ,求 的值. 解:因为 , 均为锐角,所以 . 又因为 ,所以, 所以 .因为,所以 , 所以 . [素养小结] (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式 求角的步骤: ①计算待求角的正切值. ②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角. 探究点二 正切公式的变形使用 例2(1) ____. [解析] 原式 . (2)计算: . 解: , 所以 . 变式 若锐角 , 满足,求 的值. 解:, , . 又 , 均为锐角, , . [素养小结] 两角和与差的正切公式有两种变形形式: 或 .当 为特殊角时,常考虑使用变 形形式①,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理 选用公式解题能起到快速、简捷的效果. 注意正切公式的结构特征,遇到两角正切的和与差,构造成与公式 一致的形式,当式子中出现,1, 这些特殊角的三角函数值时, 往往是“由值变角”的提示. 探究点三 正切公式的综合应用 例3 求证:当 时, . 证明:因为 , 所以 . 例4 高度为的镜子挂在墙面上,镜子的下端离地面 ,一人 直立时,眼睛离地面 ,当此人离墙面多远时,看镜子上、下端 的视角最大. 解:如图所示,为镜子高度, 为镜子下端离地面的 距离,为人的眼睛离地面的距离,,垂足为 , 则,,设 , 则 ,当且仅当时取等号,此时 最大,即当此人离墙面的距离为 时,看镜子上、下端的视角最大. 变式1 证明:在斜三角形 中, . 证明:在斜三角形中,由 , 得 , 化简得 , 因为为斜三角形,所以,, , 所以 . 变式2 如图,为钝角三角形,, 为垂 足,在的外部,且 ,则 __. [解析] 且 , , ,故 . [素养小结] 应用公式解决实际问题时,首先根据条件画出图形,再根据图形, 将所求角转化为已知角的和或差,再利用公式进行求解. 对两角和与差的正切公式的理解 (1)公式的适用范围:由正切函数的定义可知 , , (或)的终边不能落在 轴上. (2)公式的逆用:一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值 代换,如,, 等.特别要注意 , . (3)对于公式, 可记为“分子同,分母异”. (4)公式的变形:只要见到 , 时,要有灵 活应用公式的意识.特别是 , 容易 与根与系数的关系联系,应注意此类题型. 1.求值 例1(1) 若,则 ( ) A. B. C.1 D.3 [解析] 因为 ,所以 , 则 .故选B. √ (2)[2024·盐城五校高一月考] ___. 2 [解析] 因为 , 整理得, 所以 . 2.两角和与差的三角函数公式的应用 例2 已知正方形的边长为1,点,分别在边, 上,设 , . (1)若,求 的最大值; 解:在中, ,在中, . 因为,所以 , ,所 ... ...

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