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课件网) 13.2 课时4 三角形内角和定理的推论 1.理解并掌握三角形的外角的概念，能在较复杂的图形中找出外角. 2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和. （重点） 3.会利用三角形的外角性质解决问题. （难点） 1.三角形内角和定理； 2.直角三角形的性质定理和判定定理. 直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. B C D 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．即图中的∠ACD为三角形的外角. 问题：什么是三角形的外角？ A ①顶点在三角形的一个顶点上; ②一条边是三角形的一条边; ③另一条边是三角形的某条边的延长线. 特点： 画一个三角形，并画出它的所有外角.请你动手试一试，并想一想一个三角形的外角有多少个？ ★一个三角形有6个外角. ★每个顶点处有2个外角. ★每个顶点处的2个外角相等. 如图，△ABC 的外角∠ACD 与它的内角有怎样的关系 B C A D 证明： 在△ABC中 因为∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理） ∠ACB+∠ACD=180°（平角定义） 所以∠ACD=∠A+∠B（等量代换） 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如：∠ACD=∠A+∠B. 交流 ∠ACD=∠A+∠B 这三个角之间还有其它的关系吗？ ①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”) ②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”) ＞ ＞ B C A D 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形内角和定理的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角. 例5 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角. 求证：∠1+∠2+∠3=360°. 证明：∵∠1=∠ABC+∠ACB， ∠2=∠BAC+∠ACB， ∠3=∠BAC+∠ABC， (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质) ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理) ∴∠1+∠2+∠3=360°. B A C 1 2 3 结论：三角形的外角和为360° 求下列各图中∠α的度数. α 120° 35° α 45° 50 α 25° 35° α 45° 20° 35° ∠α=85° ∠α=95° ∠α=60° ∠α=30° 练一练 1.一个三角形的三个外角度数之比为3∶4∶5,则这个三角形内角度数之比是 ( ) A.5∶4∶3 B.4∶3∶2 C.3∶2∶1 D.5∶3∶1 C 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E在射线BC上,EF⊥AD于点F,∠B=46°,∠ACE=80°,则∠E的度数为 ( ) A.22° B.27° C.53° D.63° B 3.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“＞”或“＜”表示∠A，∠1，∠2的大小关系，并说明理由. 解：∠1＞∠2＞∠A. 2 1 B A C 理由如下： 对于△ABD，∠2是它的一个外角， D P 又∠A是与∠2不相邻的一个内角， ∴∠2＞∠A. 对于△PCD，∠1是它的一个外角， 又∠2是与∠1不相邻的一个内角， ∴∠1＞∠2. ∴∠1＞∠2＞∠A. 4.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 20° 30° 分析：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 1 2 3 4 解：连接 AD 并延长. 在△ABD中，∠1+ ∠ B=L3 在△ACD中， ∠ 2+ ∠ C= ∠ 4 ∵ ∠ BDC= ∠ 3+ ∠ 4， ∠ BAC= ∠1+ ∠2 ∴ ∠ BDC= ∠ BAC+ ∠ B+ ∠ C = 51°+ 20°+ 30°=101° 你还有什么其他方法吗？ ( ( 1 2 3 B A C P N M D E F 5.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . 360° 三角形的外角 三角形内角和定理推论3： 三角形内角和定理推论4： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. ... ...
