第五节 专题:函数求值域问题方法汇总 方法技巧总结 在高中阶段求函数值域的方法总结起来大概有观察法、单调性法、图像法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法（有局限性）、平方法、反函数法、均值不等式、利用函数有界性、数形结合、导数法.现阶段由于知识储备有限,我们只对常见重点方法做研究,其他方法在后面的学习中介绍. 单调性法求值域 如果一个函数为单调函数,则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域). 1.若函数在区间上单调递增, 则,. 2.若函数在区间上单调递减, 则,. 单调性法是求函数值域的常用方法,就是利用我们所学的基本初等函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. 【典例 1】求下列函数的值域: （1） ,; （2）,; （3）,; （4）,; 【练习 2】（2024·全国）函数在的值域为_____. 【练习 3】（2024·全国）函数的值域为 . 【练习 4】已知,则函数的值域为_____. 图像法求值域 作出函数的图象,通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域,图像法一般针对分段函数求值域问题,在之前我们也已经学习过分段函数图像得画法.重点在于分类讨论． 【典例 5】画出下列函数图像,求下列函数的值域: （1）; （2）; （3）; （4）. 【变式 6】对,用表示, 中的较大者,记为,若函数,则的最小值为 . 【练习 7】函数, 用表示中的较大者,记为,则的最小值为（ ） A. B.0 C.1 D.4 【练习 8】已知函数,,其中表示不超过的最大整数,例, .则函数的值域是 . 配方法求值域 型如型或可转化为二次型的函数,用此种方法,注意自变量的范围. 【典例 9】求函数在上的值域. 【变式 10】求函数的值域. 【练习 11】求函数在上的值域. 换元法求值域 此种方法适用于求根式形函数或形式较为复杂的函数的值域,换元后要注意新元的取值范围,换元法求函数值域,其实质是等价转换的思想方法. 【典例 12】求下列函数的值域: （1）; （2） （3）; （4） 【练习 13】函数的最大值为（ ） A.8 B. C.2 D.4 【练习 14】求函数的值域 . 【练习 15】已知函数的值域为,则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 分离常数法求值域 主要用于分式函数,以为例,解题步骤如下: 第一步:用分子配凑出分母的形式,将函数变形成的形式, 第二步:求出函数在定义域范围内的值域,进而求出的值域. 【典例 16】求下列函数的值域. （1）; （2）; （3）; （4）. 【变式 17】求函数在的值域. 【变式 18】求函数的值域. 判别式法求值域 判别式法:主要用于含有二次的分式函数,形如: 将函数式化成关于x的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数y的取值范围,即得函数的值域.应用判别式法时必须考虑原函数的定义域,并且注意变形过程中的等价性.运用此方法需要注意的易错点很多,故不介意将此方法作为主要方法,此种形式还可使用分离常数法解法. 【典例 19】求函数的值域. 【变式 20】求函数的值域. 【练习 21】求函数的值域. 【练习 22】求函数的值域. （作为了解即可） 【练习 23】求函数的值域.（作为了解即可）第五节 专题:函数求值域问题方法汇总 方法技巧总结 2 2 5 【1】（1） , ;（2） ,3 ;（3） 0,4 3 9 2 ;（4） 3,4 3, x 2 （2） y x 1 x 2 2x 1, 1 x 2 ,画出函数图像,如图所示: 2 解析:（1）当 1 x 3时 f (x) 为增函 3, x 1 3x 2 2 数, f 2 min f (1) , fmax f (3) 2 ,值域为 , 3 9 .3 9 （2）因为 f (x) 1 2 在 0,1 上单调递减,所以当 x 1时取最小值为x 1 f (1) 1 5 2 .当 x 0 时取最大值为 f (0) 1 2 3 ,所以函数 1 1 2 0 1 根据图像知,函数值域为 5 3,3 . f x 在此区间上的值域为 ,32 . （3）由题意得: 2x 1, x 1 （3） f x x2 2x 1 2x 1 ,知 x 0,1 ,函数单调递减,当 x 1,3 y x 1 x 2 3, 1 x 2 时,函数单调递增,故 x 1 时, ymin 0 , x 3 时, ymax 4 ,即 f x 0,4 . 2x 1, x 2 x24 x 4 ... ...
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