1.5.1 全称量词与存在量词 1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2. 能正确地利用全称量词与存在量词表达数学对象． 活动一 理解全称量词与存在量词的概念 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词． 思考1 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) x＞3； (2) 2x＋1是整数； (3) 对所有的x∈R，x＞3； (4) 对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 思考2 语句(3)和(4)有什么共同特点？ 1. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 2. 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 3. 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x). 例1 判断下列全称量词命题的真假： (1) 所有的素数都是奇数； (2) x∈R，|x|＋1≥1； (3) 对任意一个无理数x，x2也是无理数． 思考3 如何判断全称量词命题“ x∈M，p(x)”的真假？ 思考4 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1) 2x＋1＝3； (2) x能被2和3整除； (3) 存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4) 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 思考5 思考4中语句(3)和(4)有什么共同特点？ 1. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 2. 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 3. 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x). 例2 判断下列存在量词命题的真假： (1) 有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0； (2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3) 有些平行四边形是菱形． 思考6 如何判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”的真假？ 活动二 全称量词命题与存在量词命题的判断 例3 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题： (1) 自然数的平方大于或等于零； (2) 存在实数x，满足x2≥2； (3) 存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1) 凸多边形的外角和等于360°； (2) 矩形都是正方形； (3) 有些素数的和仍是素数． 活动三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 例4 判断下列命题的真假： (1) x∈R，x2>x； (2) x∈R，x2>x； (3) x∈Q，x2－8＝0； (4) x∈R，x2＋2>0. 思考7 给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响？试举例说明． 活动四 掌握量词的综合应用 例5 已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0”与命题q：“ x∈R，x2＋2x－a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是_____． 1. (2024秦皇岛月考)下列语句不是全称量词命题的是( ) A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 素数都是奇数 C. 高一(1)班绝大多数同学是团员 D. 凡是过去，皆为序章 2. 下列命题中，是存在量词命题的是( ) A. 任何一个实数乘以0都等于0 B. 任意一个负数都比零小 C. 每一个正方形都是矩形 D. 存在没有最大值的二次函数 3. (多选)(2025沧州月考)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则下列结论中正确的是( ) A. x∈A，x∈B B. x∈B，x A C. x∈A，x B D. x∈B，x∈A 4. (2025上饶期末)命题“存在正实数x，使得2x大于3x”，用符号语言可表示为_____，该命题 ... ...
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