5.7 三角函数的应用 5.7.1 三角函数的应用(1) 1. 能应用三角函数解决一些简单的实际问题． 2. 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型． 活动一 了解简谐运动 现实生活中存在大量的周期现象，如简谐运动、气温变化规律、月圆与月缺、涨潮与退潮等，可以利用三角函数建立一些周期性运动的数学模型． 问题 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 思考 在简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)各参数的物理意义是什么？ 例1 如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到平衡位置最远处时开始计时． (1) 求物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系； (2) 求该物体在t＝5 s时的位置． 已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞）（取向上的方向为正方向）. (1) 作出这个函数在一个周期内的简图； (2) 小球在开始振动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？ (3) 小球往返振动一次需经过多长时间？ 活动二 了解三角函数在水轮、摩天轮模型中的应用 例2 一个半径为4 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间． (1) 将点P距离水面的高度y（单位：m）表示为时间x（单位：s）的函数； (2) 点P第一次到达最高处大约需要多长时间？ 如图，一个摩天轮的半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，已知此摩天轮每20 min转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时． (1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7 m？ 1. （2024北京密云期末）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点P（，2），其对应的方程为|y|＝（2－）|sin ωx|（x≥0，其中[x]为不超过x的最大整数，0<ω<5）.若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为( ) A. B. C. D. （第1题） （第2题） （第3题） 2. 如图，记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A.已知分针长OA＝5 cm，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动．若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y（单位：cm）与时间t（单位：min）的函数解析式为( ) A. y＝5|sin t| B. y＝5|cos t| C. y＝5|sin t| D. y＝5|cos t| 3. （多选）（2024广州期末）如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋b（A>0，ω>0，－<φ<），则下列结论中正确的是( ) A. A＝3 B. ω＝ C. sin φ＝－ D. b＝－0.8 4. （2024金华期末）若函数f(n)＝200cos （＋）＋300（n为月份且n∈{1，2，3，…12}）近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数 ... ...
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