第四章 指数函数与对数函数 本 章 复 习 1. 了解n次方根，根式的概念及其性质．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2. 理解指数函数、对数函数的概念．会用函数图象和代数运算的方法研究指数函数与对数函数的性质，并能综合运用其解决简单的问题． 3. 掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）.体会数形结合思想、函数方程思想的应用． 4. 会利用已知的函数模型解决问题，能根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测． 活动一 构建知识网络 活动二 数的大小比较 数的大小比较常用方法： (1) 比较两数（式）或几个数（式）的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3) 比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0且小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 例1 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. b＜c＜a 已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( ) A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. b＜a＜c 活动三 对（指）数方程的求解 例2 求下列各式中的x： (1) 3－2＝10； (2) log a x＝log ac＋b. 解方程：log2(4x＋4)＝x＋log2(2x+1－3). 活动四 与指数、对数有关的应用问题 例3 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v＝5log2（单位：m/s），其中Q表示燕子的耗氧量，则一只两岁燕子静止时的耗氧量是 单位． 地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4).A地的地震级别为9.0级，B地的地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放能量的 倍． 活动五 复合函数的单调性 1. 一般地，对于复合函数y＝f(g（x)），如果t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g（a)，g(b)）或者(g（b)，g(a)）上是单调函数，那么y＝f(g（x)）在区间(a，b)上也是单调函数． 2. 对于函数y＝f(t)，t＝g(x). 若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域． 例4 已知函数f(x)＝. (1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2) 若函数f(x)有最大值3，求a的值． 已知函数f(x)满足f(x)＋log2x＝log2(ax＋1). (1) 当a＝1时，解不等式f(x)＞1； (2) 若关于x的方程f(x)＝2x的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围； (3) 设a＞0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围． 活动六 指数函数、对数函数和幂函数的综合应用 指数函数与对数函数性质的对比： 指数函数与对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系． (1) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．当a变化时，函数的图象和性质也随之变化． (2) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0) ... ...
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