第五章 三角函数 本 章 复 习 1. 梳理本章知识点，形成知识体系． 2. 巩固三角函数的概念，灵活运用同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间）；理解和（差）公式、倍角公式等所反映出的三角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示；理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象和图象变换，综合运用这些知识解决问题． 3. 体会数形结合思想、由特殊到一般思想、整体代换思想、分类讨论思想及转化思想的应用． 活动一 构建知识网络 活动二 理解概念，掌握基本方法 例1 (1) 与－30°角终边相同的角的集合为 ；（用弧度制表示） (2) 已知P（－，m）为角α的终边上的一点，且sin α＝，则m的值为 ； (3) 化简：1＋cos ·sin ·tan (π＋α)＝ ． 已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求tan α的值． 活动三 三角函数的图象与性质 例2 函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k（A＞0，ω＞0，|φ|<）的部分图象如图所示． (1) 求函数的解析式； (2) 分析一下该函数的图象是如何通过y＝sin x 的图象变换得来的． 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|<）的部分图象如图所示，求函数y＝f(x)的解析式． 例3 已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1（其中a为常数）. (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 若当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3) 求f(x)取最大值时x的取值集合． 活动四 提升探究能力，数形结合思想 例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，P(x，y)是单位圆上的一个动点，它以单位圆与y轴负半轴的交点P0为初始位置，沿单位圆按逆时针方向旋转，设旋转角为α. (1) 将x表示为α的函数f(α)； (2) 若f＝2f(α)，求sin αcos α的值； (3) 若f＝，且－<α<，求sin 的值． 例5 作出函数f(x)＝sin 的图象，并写出它的单调增区间． 若f(x)＝sin 在区间[0，a]上有且只有两个最大值，求实数a的取值范围． 若方程sin ＝a在区间上有两解． (1) 求实数a的取值范围； (2) 若方程的两解为α和β，求α＋β的值． 若方程sin x＝在x∈上有两个实数解，则实数a的取值范围是 ． 例6 已知函数f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R). (1)求g(a)； (2) 若g(a)＝，求a的值及此时函数f(x)的最大值． 活动五 三角恒等变换的综合应用 例7 某公园内有一个半径为20 m的扇形空地OAB，且∠AOB＝.公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个形状为矩形MNPQ的老年活动场所，如下图所示有两种方案可供选择． (1) 若选择方案一，设∠NOA＝α，请用α表示矩形MNPQ的面积，并求面积的最大值； (2) 若选择方案二，求矩形MNPQ面积的最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）？ 参考数据：≈1.414，≈1.732. 方案一 方案二 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0. (1) 将十字形的面积S表示成θ的函数； (2) 求十字形面积S的最大值，并求出此时的值． 活动六 转化与化归思想 例8 已知＜α＜，0＜β＜，cos （－α）＝，sin ＝，求sin (α＋β)的值． 设tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两个根，且0＜α＜，π＜β＜，求α＋β的值． 1. （2024北京大兴期末）sin 的值为( ) A. － B. － C. D. 2. 下列区间是函数f(x)＝5cos （2x－）的减区间的是( ) A. （－，） B. （－，） C. （，π） D. （，） 3. （多选）（2024郑州期末）已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列说法中正确的是( ) A. f(x)的最大值为2 B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称 C. 直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴 D. 函数y＝f(x)在区间上单调递增 4. （2025北京海淀期 ... ...
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