33　专项突破提升(二)　相似三角形的常见模型（教师版）初中数学北师大版九年级上册

专项突破提升(二) 相似三角形的常见模型 类型一　平行线A型 1．(4分)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，增加下列哪个条件不能使△ADE与△ABC相似(　A　) A．＝ ＝ C．∠AED＝∠B D．∠AED＝∠C 2．(8分)如图，在△ABC中，已知D，E分别是边AC，AB的中点．求证：△ADE∽△ACB． 证明：∵D，E分别是边AC，AB的中点， ∴DE∥CB． ∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC． ∴△ADE∽△ACB． 类型二　平行线X型 3．(4分)如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(　D　) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 4．(12分)如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3． (1)求CD的长； (2)求证：△CDE∽△BDC． (1)解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6， ∴AC＝＝12． ∴AE＝AC－CE＝9． ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE． ∴＝． ∴CD＝＝＝2． (2)证明：∵在Rt△ECB中，∠ECB＝90°，CE＝3，BC＝6， ∴BE＝＝3． ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE． ∴＝＝． ∴DE＝． ∴BD＝4． ∵＝＝＝＝， ∴＝． 又∵∠D＝∠D， ∴△CDE∽△BDC． 类型三　相交线型 5．(4分)如图，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　D　) A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠ADE C．AE·AB＝AD·AC D．AE·BC＝ED·AB 6．(12分)如图，P是△ABC的边AB上的一点． (1)如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？ (2)如果＝，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果＝呢？ 解：(1)△ACP∽△ABC．理由如下： ∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC． (2)如果＝，△ACP与△ABC相似．理由如下： ∵＝，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC． 如果＝，△ACP与△ABC不一定相似．理由如下： ∵＝，但∠ACB≠∠ACP， ∴△ACP与△ABC不一定相似． 类型四　旋转型 7．(4分)如图，在△ABC与△ADE中，点D在边BC上，∠1＝∠2＝∠3．若AB＝4，AD＝2，AC＝3，则AE的长为(　B　) A． C．2 D． 8．(8分)如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED． 证明：∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC， 即∠BAC＝∠EAD． ∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40， ∴＝＝． ∴△ABC∽△AED． 9．(10分)如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B．求证：△ABC∽△ADE． 证明：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC＋∠CAD＝∠DAB＋∠CAD， 即∠DAE＝∠BAC． 又∵∠D＝∠B， ∴△ABC∽△ADE． 类型五　双垂直型 10．(4分)如图，BD，CE是△ABC的两条高，BD，CE交于点O，则图中与△BOE相似的三角形有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边AC上一点，DE⊥AB于点E． (1)求证：△ABC∽△ADE； (2)如果AC＝8，BC＝6，CD＝3，求BE的长． (1)证明：∵DE⊥AB于点E， ∴∠AED＝∠C＝90°． ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE． (2)解：∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°， ∴由勾股定理，得AB＝10． ∵AC＝8，CD＝3，∴AD＝5． ∵△ABC∽△ADE， ∴＝． ∴＝．∴AE＝4． ∴BE＝10－4＝6． 类型六　一线三等角型 12．(4分)如图，在边长为8的等边三角形ABC中，BD＝2，∠ADE＝60°，则AE的长为 ． 13．(10分)如图，点B，C，D在同一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1＋∠2＝90°．求证：△ABC∽△CDE． 证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°． ∴∠A＋∠1＝90°． 又∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2． ∴△ABC∽△CDE． 类型七　分类讨论型 14．(12分)如图，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使以C，D，P为顶点的三角形与以P，B，A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，请说明理由． 解：存在． ①若△PCD∽△APB，则＝， 即＝， 解 ... ...