思想方法集锦 方法一 整体法 1．(4分)已知方程x2－3x－4＝0的根为x1，x2，则(x1＋2)·(x2＋2)的值为 6 ． 2．(4分)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 024的值为 2 027 ． 3．(4分)将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位长度后，经过点(－2，5)，则8a－4b－11的值是 －5 ． 4．(4分)若W＝5x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3(x，y均为实数)，则W的最小值为 －2 ． 解析：W＝5x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3 ＝x2＋4x2－4xy＋y2－2y＋8x＋3 ＝4x2－4xy＋y2－2y＋x2＋8x＋3 ＝(4x2－4xy＋y2)－2y＋x2＋8x＋3 ＝(2x－y)2－2y＋x2＋4x＋4x＋3 ＝(2x－y)2＋4x－2y＋x2＋4x＋3 ＝(2x－y)2＋2(2x－y)＋1－1＋x2＋4x＋4－4＋3 ＝[(2x－y)2＋2(2x－y)＋1]＋(x2＋4x＋4)－2 ＝(2x－y＋1)2＋(x＋2)2－2． ∵x，y均为实数， ∴(2x－y＋1)2≥0，(x＋2)2≥0． ∴原式W≥－2，即原式W的最小值为－2． 方法二 构造法 5．(4分)如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB，OC，则边BC的长为( D ) A．R B．R C．R D．R 6．(8分)如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，求AB的长． 解：如图，设D为优弧AB上的一点，连接AD，BD，OA，OB． ∵⊙O的半径为2， △ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°， ∴∠ADB＝45°． ∴∠AOB＝90°． ∵OA＝OB＝2， ∴AB＝2． 方法三 分类讨论法 7．(8分)已知直角三角形两边x，y的长满足x2－4x＋4＋＝0，求第三边长． 解：∵x2－4x＋4＋＝0， ∴(x－2)2＋＝0． ∵(x－2)2≥0，≥0， ∴x＝2，y2－5y＋6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当x＝2，y＝3时，直角三角形的第三边长为或； 当x＝2，y＝2时，直角三角形的第三边长为2． 综上所述，直角三角形的第三边长为或或2． 8．(12分)已知函数y＝kx2＋(k＋1)x＋1(k为实数)． (1)当k＝3时，求此函数图象与x轴的交点坐标； (2)判断此函数与x轴的交点个数，并说明理由； (3)若此函数图象为抛物线，且顶点在x轴下方，顶点到y轴的距离为2，求k的值． 解：(1)当k＝3时，此函数为y＝3x2＋4x＋1． 令3x2＋4x＋1＝0，解得 x1＝－1，x2＝－． ∴此函数图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，． (2)①当k＝0时，函数为y＝x＋1，它的图象与x轴有一个交点． ②当k≠0时，函数为二次函数， Δ＝b2－4ac＝(k＋1)2－4k＝(k－1)2， 若k＝1，则b2－4ac＝0，它的图象与x轴 有一个交点； 若k≠1，则b2－4ac＞0，它的图象与x轴 有两个交点． ∴当k＝0或k＝1时，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠0且k≠1 时，图象与x轴有两个交点． (3)当此函数图象为抛物线时，k≠0． ∵顶点到y轴的距离为2， ∴－＝±2， 解得k1＝－，k2＝． 经检验，k1＝－和k2＝都是方程的解． ∵顶点在x轴下方， ∴＜0． 当k＝－时，＝＞0， ∴k＝－不合题意，舍去． 当k＝时，＝＜0， ∴k＝符合题意． 故所求k的值为． 9．(14分)如图(1)，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－4x＋c的图象与y轴的交点坐标为(0，5)，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为(1，5)． (1)求c的值及顶点M的坐标． (2)如图(2)，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t＜3)得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2－4x＋c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G． ①当t＝2时，求QG的长． ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第9题图 解：(1)∵二次函数y＝x2－4x＋c的图象与y轴的交点坐标为(0，5)， ∴c＝5． ∴y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1． ∴顶点M的坐标是(2，1)． (2)①如图． ∵点A在x轴上，点B的坐标为(1，5)， ∴点A的坐标是(1，0)． 当t＝2时，点D′，A′的坐标分别是 ... ...
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