(
课件网) 第4章 一元二次方程 4.5一元二次方程根的判别式 情 境 导 入 4.5一元二次方程根的判别式 你会解方程x2+2x+5=0吗？试一试. 方法一： 因为22-4×1×5＜0，所以无法用公式法解这个方程. 方法二： 配方，得(x+1)2=-4. 因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根. 新 课 探 究 4.5一元二次方程根的判别式 由4.3节我们已经知道，当b2-4ac≥0时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 可以利用求根公式 x= 求出它的根. 你发现当b2-4ac＞0与b2-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 ① 求根公式 x= . (1) 当b2-4ac＞0时,由于 是正数，-是负数，所以是两个不相等的实数根，因此方程①有两个不相等的实数根： x1= , x2= . 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 合作探究 一元二次方程 ax2+bx+c=0 ① 求根公式 x= . (2) 如果b2-4ac=0,那么 =0，这时方程①有两个相等的实根： x1= x2=-. 如果b2-4ac＜0，方程①的根具有什么特征？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 ① 求根公式 x= . (3) 如果b2-4ac＜0,将方程①配方后，得 (x+)2=. 方程的右边由于分母4a2＞0，所以 ＜0， 而(x+)2不可能是负数，这时方程①没有实根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 由前面的探究可知，一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式b2-4ac的值的符号，因而把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式. 通常用Δ表示，即Δ= b2-4ac. “Δ”是希腊字母，读作“delta”. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 上述命题的逆命题也成立，小组合作说出它的逆命题. 当Δ＞0时有两个不相等的实根； 当Δ=0时有两个相等的实根； 当Δ＜0时没有实根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 逆命题： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实根，那么Δ＞0； 如果有两个相等的实根，那么Δ=0； 如果没有实根，那么Δ＜0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+x-4=0; (2)4y2+9=12y; (3)5(t2+1)-6t=0. 解：(1)这里a=2,b=1,c=-4, ∵ Δ=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33＞0, ∴方程有两个不相等的实根. (2)把原方程化为一般形式，得 4y2-12y+9=0. 这里a=4,b=-12,c=9. ∵ Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0， ∴原方程有两个相等的实根. (3)把原方程化为一般形式，得 5t2-6t+5=0. 这里a=5,b=-6,c=5. ∵ Δ=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64 ＜0， ∴原方程没有实根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例2】已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根. (1) 求k的取值范围；(2)选择一个k的正整数值，并求出方程的根. 解:(1) ∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根，∴Δ=(-3)2-4k＞0,即9-4k＞0, 解不等式，得k＜. ∵ kx2-3x+1=0是一元二次方程，∴k≠0,故k的取值范围是k＜且k≠0. (2)取不等式k＜的一个正整数解k=2,则方程为2x2-3x+1=0. 解这个方程，得x1=1, x2=. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (1) 运用根的判别式时，必须将方程化为一般形式. (2) 方程有两个实根时，Δ≥0. (3) 无法确定方程是否为一元二次方程时，应分类讨论. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 挑战自我 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2-12x+k=0的两 ... ...
