思想方法集锦 (时间：90分钟 满分：110分) 方法一 整体法 1．(4分)阅读材料：整体代入法是数学中常用的方法．例如，已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根据上述材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式8a＋4b－2的值是( D ) A．4 B．6 C．8 D．10 2．(4分)把(2a＋b)看作一个整体，则3(2a＋b)－4(2a＋b)＋(2a＋b)的化简结果是( D ) A．(2a＋b) B．2(2a＋b) C．－(2a＋b) D．0 3．(10分)理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法． 例如，若x2＋x＝0，求x2＋x＋2 024的值． 我们将x2＋x作为一个整体代入，则原式＝0＋2 024＝2 024. 仿照上面的解题方法，解答下列问题： (1)如果a＋b＝3，求2(a＋b)－4a－4b＋21的值； (2)若a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，求a2＋2b2＋6ab的值； (3)当x＝2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值为m，求当x＝－2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值． 解：(1)因为a＋b＝3， 所以2(a＋b)－4a－4b＋21 ＝2(a＋b)－4(a＋b)＋21 ＝2×3－4×3＋21 ＝15. (2)因为a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8， 所以a2＋2b2＋6ab ＝a2＋2ab＋2(b2＋2ab) ＝20＋2×8 ＝36. (3)因为当x＝2 025时， ax5＋bx3＋cx－5＝2 0255a＋2 0253b＋2 025c－5＝m， 所以当x＝－2 025时， ax5＋bx3＋cx－5 ＝－2 0255a－2 0253b－2 025c－5 ＝－(m＋5)－5 ＝－m－10. 方法二 分类讨论法 4．(8分)“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下列问题： 已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，求a－b的值． 解：因为|a|＝2，|b|＝8， 所以a＝±2，b＝±8. 因为ab＜0， 所以a＝2，b＝－8或a＝－2，b＝8. 所以a－b＝10或－10. 5．(12分)【问题提出】已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度数． 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决． (1)当射线OC在∠AOB的内部时， ①若射线OD在∠AOC内部，如图1，则∠BOC＝ 16.1° ；(填度数) ②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数． 【问题延伸】 (2)当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数． 解：(1)②设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α. 因为∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝α. 所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°， 解得α＝34.5°. 所以∠BOC＝34.5°. (2)当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB. 因为∠BOC＜50°，∠AOD＝∠AOC， 所以射线OD的位置也只有两种可能． 设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α. ①当射线OD在∠AOB内部时，如图1所示． 图1 因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝4α. 所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝80.5°， 解得α＝11.5°. 所以∠BOC＝11.5°. ②当射线OD在∠AOB外部时，如图2所示． 图2 因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝α. 所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°， 解得α＝48.3°. 所以∠BOC＝48.3°. 综上，∠BOC的度数是11.5°或48.3°. 方法三 建模思想 6．(8分)【问题呈现】 某中学的学生以4 km/h的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30 min后，学校派一名通信员骑自行车以12 km/h的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍． 【自主思考】 相等关系为 队伍走的路程＝通信员走的路程 ． 【建模解答】(请你完整解答本题) 解：设通信员用x h可以追上队伍． 由题意，得4(x＋0.5)＝12x， 解得x＝0.25. 0．25×60＝15. 答：通信员用15 min可以追上队伍． 7．(10分)在代数式的学习中，我们通过对同一面积的不同表达的比较，得到合并同类项的 ... ...
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