课时分层训练(十) 探索勾股定理 知识点一 勾股定理 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AC2＋BC2的值是( C ) A．10 B．34 C．25 D．41 解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5， 所以AC2＋BC2＝AB2＝52＝25. 故选：C. 2．在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝5，AB＝13，则AC＝ 12 ． 解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13， 所以AC2＝AB2－BC2＝132－52＝144. 所以AC＝12. 故答案为：12. 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则边BC上的高为 3 ． 解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 因为AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC， 所以BD＝CD＝BC＝4. 所以AD2＝AB2－BD2＝9. 所以AD＝3， 即边BC上的高为3. 故答案为：3. 知识点二 勾股树 4．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为( A ) A．7 B．5 C．25 D．1 解析：因为正方形A的面积为3，正方形B的面积为4， 所以正方形C的面积为3＋4＝7. 故选：A． 5．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 10 ． 解析：如图，根据勾股定理的几何意义，得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为：10. 知识点三 勾股定理的验证 6．如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为 20 ． 解析：因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形， 所以一个直角三角形的面积＝(大正方形面积－小正方形面积)÷4＝(72－32)÷4＝10. 即ab＝10. 所以ab＝20. 故答案为：20. 7．用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b(a＜b)，斜边长为c. 图1 图2 (1)结合图1，试说明：a2＋b2＝c2； (2)如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙、无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH.若该图形的周长为48，OH＝6，求该图形的面积． 解：(1)易知S小正方形＝(b－a)2＝a2－2ab＋b2，S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab， 即a2－2ab＋b2＝c2－2ab. 所以a2＋b2＝c2. (2)易知AB＋BC＝48÷4＝12，OH＝OB＝6. 设AH＝BC＝x，则AB＝12－x，OA＝6＋x. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2， 即62＋(6＋x)2＝(12－x)2， 解得x＝2. 所以该图形的面积为×6×8×4＝96. 8．如图，四边形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成的．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则(a＋b)2＝( D ) A．12 B．13 C．24 D．25 解析：由题意，得四边形ABCD和四边形EFGH是正方形， 因为正方形ABCD的面积为13， 所以AD2＝13＝a2＋b2.① 因为中间空白处的四边形EFGH的面积为1， 所以(b－a)2＝1. 所以b2－2ab＋a2＝1.② ①－②，得2ab＝12， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25. 故选：D. 9．某画家用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是( A ) A．S1＝a2＋b2＋2ab B．S2＝c2＋ab C．S1＝S2 D．a2＋b2＝c2 解析：由勾股定理，得a2＋b2＝c2， 由题意，得S1＝S2＝a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab＝c2＋ab. 故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 10．如图，四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O.若AD＝2，BC＝6，则AB2＋CD2＝ 40 ． 解析：在Rt△ABO与Rt△CDO中，由勾股定理， ... ...
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