课时分层训练(十二) 勾股定理的应用举例 知识点一 勾股定理的应用 1．如图，在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则湖水的深度是 3.75 尺．(“尺”是我国古代的一种长度单位) 解析：若设湖水的深度为x尺，则荷花的长是(x＋0.5)尺． 在Rt△AB′C中，根据勾股定理，得＝x2＋22，解得x＝3.75. 所以湖水的深度为3.75尺． 故答案为：3.75. 2．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，村庄C到取水点A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB＝3 km，CH＝2.4 km，BH＝1.8 km.求原来的路线AC的长． 解：因为CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，CB2＝32＝9， 所以CH2＋BH2＝CB2. 所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°. 所以∠CHA＝90°. 所以AC2＝AH2＋CH2. 因为AB＝AC， 所以AH＝AB－BH＝AC－1.8. 所以AC2＝(AC－1.8)2＋2.42，解得AC＝2.5. 所以原来的路线AC的长为2.5 km. 知识点二 勾股定理与最短路径问题 3．如图，圆柱的底面周长为24 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，P是BC上一点，且PC＝5BP，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 13 cm . 解析：圆柱的侧面展开图如图所示，连接AP，则线段AP的长是蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点P的最短距离． 因为BC＝6 cm，PC＝5BP， 所以PC＝5 cm. 因为圆柱的底面周长为24 cm， 所以AC＝12 cm. 在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP＝13 cm. 故答案为：13 cm. 4．如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4.若一名滑雪爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离．(π取3) 解：中间可供滑行部分的展开图如图所示． 易知AD＝×3×(3×2)＝9. 因为AB＝CD＝16，CE＝4， 所以DE＝CD－CE＝16－4＝12. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE＝15. 故他滑行的最短距离约为15. 5．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1 km和3 km，且CD相距3 km，则铺水管的最短长度是 ( A ) A．5 km B．4 km C．3 km D．6 km 解析：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′与直线l交于点P，此时PA＋PB的值最小．作A′E∥l，交BD的延长线于点E. 在Rt△A′BE中，因为A′E＝3 km，BE＝1＋3＝4(km)， 所以由勾股定理，得A′B＝5 km. 因为PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝5 km， 所以PA＋PB的最小值为5 km， 即铺水管的最短长度是5 km. 故选：A． 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一道题，其译文大意为：某秋千的示意简图如图所示，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD＝5尺)，求秋千绳索OB的长度．(“尺”是我国古代的一种长度单位) 解：设OA＝OB＝x尺． 因为EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， 所以EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)， OE＝OA－EA＝(x－4)尺． 在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺． 根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102， 解得x＝14.5. 所以秋千绳索OB的长度为14.5尺． 【创新运用】 7．如图，居民楼A到铁路CM的距离为160 m，居民楼A与车站C的距离AC＝512 m，若火车经过时，周围200 m内会受到火车噪声的轻微干扰． (1)通过作图说明居民楼A为什么会受到经过的火车噪声的影响； (2)若火车的速度为30 m/s，求一列火车经过时，该居民楼受到噪声影响的时间．(火车车长忽略不计) 解：(1)如图，作AB⊥CM于点B. 易知AB＝160 m＜200 m. ... ...
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