蚂蚁翻“墙”寻捷径 例 如图1，一个带盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 思路点拨：蚂蚁在长方体的侧面上爬行，有三种情况：一是沿正面与右侧面爬行，将正面和右侧面展开如图2-①；二是沿正面与上底面爬行，将正面与上底面展开如图2-②；三是沿左侧面与上底面爬行，将左侧面与上底面展开如图2-③. 三种情况下利用勾股定理分别求AB的长，可知只有第一种情况下所求的AB长最短，最短路程为20 cm. 方法提炼：解这类立体图形最短路径问题的思路是：把几何体的侧面展开为平面图形，再利用“两点之间，线段最短”，结合勾股定理等有关知识求解. 变式一：图3是一个棱长为6 cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2 cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 图3 图4 思路点拨：蚂蚁的爬行方式也有三种：沿正面与右侧面爬行，沿正面与上底面爬行；沿左侧面与上底面爬行，将正方体沿这三种方式展开，利用勾股定理进行计算． 解：将正方体的正面与右侧面展开如图4所示， 因为BC＝2 cm，棱长为6 cm，所以AD＝6＋2＝8（cm），BD＝6 cm. 由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=82+62=100，所以AB＝10 cm. 沿另外两种方式爬行，同样的方法可求出AB＝10 cm. 所以蚂蚁爬行的最短路程是10 cm． 变式二：如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为 cm． 思路点拨:将容器沿侧面展开，在杯子边沿确定一点P，使PA+PB最短，作点A关于EF的对称点A′，根据“两点之间线段最短”可知A′B的长即为所求． 解：将容器沿侧面展开如图6所示，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点P，则PA+PB的长，即A′B的长为蚂蚁爬行的最短距离. 过点A′作A′D⊥BF，交BF的延长线于点D. 由题意，得A′D==5（cm），BD=12-3+3=12（cm）. 所以A′B2=A′D2+BD2=52+122=169，所以A′B=13 cm． 故填13． 图1 图5 图6 P走近生活中的“勾股” 勾股定理是数学中的一条重要定理，它的应用领域广泛，涉及到建筑、航海、地理测量、导航等诸多领域.下面我们就用善于发现的眼睛去生活中捕捉它的身影吧！ 【情境题-计算长度】 例1 中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”.节日的设立大大调动起了亿万农民的积极性、主动性、创造性，提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感.为了庆祝今年的丰收节，小明让哥哥帮忙用3D打印机制作了一个底面周长30 cm，高为8 cm的圆柱粮仓模型（如图1-①）．如图1-②，BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？ 分析：将圆柱沿着经过点C的高线剪开，如图2所示，根据“两点之间，线段最短”可知，当装饰带按CA和C′A的长度装饰时，所需长度最短． 解：将圆柱沿着经过点C的高线剪开，如图2所示，因为圆柱的底面周长为30 cm，高为8 cm，所以BC=15 cm，AB=8 cm. 在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=152+82=289.所以AC=17 cm. 同理，得AC′=17 cm. 所以AC+AC′=34 cm. 所以装饰带的长度最短为34 cm. 图2 【情境题-计算面积】 例2 某市实验中学为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分了一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5 m，12 m，1 ... ...
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