§3.3 抛物线 目录 题型1：抛物线定义的应用 5 题型2：求抛物线的标准方程 9 题型3：抛物线的焦点弦 13 题型4：直线与抛物线的相交问题 24 直线与抛物线的位置关系 25 弦长问题 27 中点弦问题 31 切线问题 34 题型5：与抛物线有关的最值（范围）问题 41 求抛物线上一点到定点的最值 41 求抛物线上一点到定直线的最值 46 题型6：抛物线在实际问题中的应用 49 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0。当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现 的错误。 抛物线的简单几何性质 标准 方程 图形 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 范围 对称轴 焦点 准线 方程 顶点 离心率 抛物线上的点 M 与焦点F 的距离和点M 到准线的距离d 的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，. 焦半径 点与抛物线的位置关系 点和抛物线位置关系的讨论： 点在抛物线内； 点在抛物线上； 点在抛物线外。 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离。 设直线，抛物线，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于的方程， ①若， 当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。 直线与抛物线的相交弦 与抛物线有关的弦长问题 当直线与抛物线相交于，两点，则弦长：（为直线的斜率，且）. 焦点弦的常用性质 如图，是抛物线过焦点的一条弦，直线的倾斜角为，设,过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，为准线与轴的交点。对于抛物线的焦点弦，有如下结论： ①两点的横、纵坐标之积均为定值，即，。 ②若位于轴上方，位于轴下方，则，。 证明：因为，所以，同理可证得，。 ③，抛物线的通径长为，通径是最短的焦点弦。 ④设弦所在直线的斜率为，则。 ⑤。 ⑥。 ⑦以为直径的圆必与准线相切. ⑧以(或)为直径为圆与轴相切。 ⑨以为直径的圆过点,。 ⑩三点共线，三点也共线。 与焦点弦有关的切线性质 如图,是抛物线过焦点的一条弦,分别过作抛物线的切线,两切线交于点P,连接PF,则有以下结论: ①点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线。 ②两切线互相垂直,即。 ③。 ④点P的坐标为。 非焦点弦性质 ①已知直线与抛物线交于，若，则直线过定点，反之亦然。 ②已知是抛物线上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对称轴上一点，则 过抛物线对称轴上一定点的弦的性质 ①过点的直线与抛物线交于两点，则(定值) ,(定值)， (定值)。 ②若直线与抛物线交于两点，且(定值)，则直线过定点。 题型1：抛物线定义的应用 通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,然后根据平面几何的相关知识求解。 已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义及题意列出关系式即可. 【详解】抛物线的准线为，则由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为， 故由题意可得，，得. 故选：B 已知抛物线上的点M与焦点F的距离为6，则M到y轴的距离为（ ） A． B． C ... ...
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