圆锥曲线中的定值问题专练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

【3】（1）5;（2）证明见解析. 第十五节 专题:圆锥曲线中的定值问题 解析:（1）依题意得 F 1，0 , 所以直线 l 的方程为 y 2 x 1 . 重点题型专练 设直线 l 与抛物线的交点为 A x1，y1 , B x2，y2 , x2 2 【1 1 y】（ ） 1 ;（2）为定值,证明见解析. y 2 x 1 4 3 由 2 得, 2 y 4x x 3x 1 0 , 解析:（1）由题意, MNF2 的周长为 8,可得 4a 8 ,解得 a 2 , 所以 x1 x2 3 , x1x2 1 . c b2 1 由椭圆离心率 e 1 ,解得2 b 2 3 . 所以 AB AF BF x a a 2 1 x2 p 3 2 5 . （2）证明:设直线 l 的方程为 x ky 12 ,x y2 所以椭圆 C 的方程 1 . 4 3 直线 l 与抛物线的交点为 A x1，y1 , B x2，y2 , （2）由题意,当直线 AB的斜率不存在时, x ky 1 A x , y B x , x 由 2 2 得, y 4ky 4 0 ,此时不妨设 0 0 , 0 0 . y 4x x2 x2 12 所以 y y 4k , y y 又 A , B 两点在椭圆 C 上,∴ 0 0 1 2, x , 1 2 1 2 4 . 4 3 0 7 因为 OA OB x1，y1 x2，y2 x1x2 y1y2 ky1 1 ky2 1 y1y2 ∴点 O 到直线 AB d 12 2 21 的距离 . k 2 y y k y y 1 y y 4k 2 4k 2 7 7 1 2 1 2 1 2 1 4 3 . 当直线 AB的斜率存在时,设直线 AB的方程为 y kx m . 所以 OA OB 为定值. 【4】（1） 8 ;（2）证明见解析. y kx m A x , y B x , y 2 2 y 2 设 1 1 , 2 2 ,联立方程 x y , 解析:（1）由双曲线 C : x2 1可得 a 1 ,1 b 2 ,所以 2 4 3 c a2 b2 1 2 3 , 消去 y 得 3 4k 2 x2 8kmx 4m2 12 0 . 所以 F 3,0 ,设 A x1, y1 , B x2 , y ,8km 2 2 由已知 0 , x1 x2 x x 4m 12 , , 3 4k 2 1 2 3 4k 2 3 0 k 1 由 OA OB ,则 OA OB x1x2 y1y2 0 ,即 x1x2 kx1 m PF kx m 0 0 ,所以直线 l 的方程为 y x 3 ,2 , 3 2 整理得: k 1 x 21x2 km x1 x2 m 0 , y x 3 由 联立得: x22 2 2 3x 5 0 , k 2 1 4m 2 12 8k 2m2 m2 0 7m2 12 k 2 2x y 2∴ 2 2 ,整理得 1 ,满足3 4k 3 4k 所以 x1 x2 2 3, x1x2 5 , 0 . 2 2 m 12 2 21 AF BF x1 3 y 21 x2 3 y 22 2 x1 3 x2 3 ∴点 O 到直线 AB的距离 d 为定值. 1 k 2 7 7 2 x1x2 3 x1 x2 3 2 5 3 2 3 3 8 . 2 21 综上可知,点 O 到直线 AB的距离 d 为定值. 7 （2）由题意知直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l : y kx 3 , x2 y kx 32 1 y2 1 2 2【 】（ ） ;（2）证明见解析. 由 2 2 可得: k 2 x 2 3kx 5 0 ,3 2x y 2 x0 x 所以 解析:（1）设 M x, y , P x0 , y 0 ,由题意可得, x 2 20 y0 3 , 3 , 2 3k 5 3 y y 33 0 x x , x1x2 2 , MA x1, y1 , MB x , y 1 2 ,2 k 2 k 2 4 2 2 4 x 20 x 则 ,代入 x 20 y 2 x 0 3 ,整理得 y 2 1 3 3 5 3 5 3 ; y 3y 3 MA MB x1x2 y1 y2 x1x2 kx1 kx2 0 4 4 4 4 x2 即所求 M 的轨迹的方程为 y2 1 ; 3 1 k 2 x1x 5 3 752 k x x 4 1 2 16 （2）设直线 AB 的方程为 y kx m , A x1, y1 , B x2 , y2 , 5 5 3k 2 3k 75 35 2 35 1 k .所以 MA MB 为定值.2 2 因为以 AB为直径的圆经过原点 O ,所以 AOB ,则 k 2 4 2 k 16 16 16 2 2 2 x y 3 OA OB x x y y 0 【5】（1） 1 ;（2） m .1 2 1 2 , 4 3 2 x x kx m kx m 0 1 k 2即 1 2 1 2 ,即 x1x2 km x1 x 22 m 0 ; 解析:（1）由题意可知 2a TF1 TF 5 32 4 ,∴ a 2 ,而 c 1 ,2 2 y kx m 2 2 2 y x2 3 kx m 2 3 ∴ b2 x y 联立 x 消去 得 ,整理得 a 2 c2 3 ,∴椭圆 E的方程为 1 . y 2 1 4 3 3 （2）①若直线 l的斜率不存在,易得 OA OB OM ON 3 , 1 3k 2 x2 6kmx 3m2 3 0 , ②若直线 l的斜率存在,设其方程为 y kx m , A x1, y1 , B x2 , y2 , 6km y kx m x 1 x2 1 3k 2 x1 x2 y1 yN , 2 2 2则 2 2 2 2 2 2 则 ,联立 x y 得2 , 36k m 12 1 3k m 1 0 ,即 m 1 3k , 2 2 3m 3 14 3 x1 x2 1 3k 2 2 2 2 4k 2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 ,3m 3 6km 4m 3 3k 所以 1 k 2 22 km 2 m 0 ,整理得 2 0 ,则1 3k 1 3k 1 3k x x 8km ... ...