2025-2026学年人教版九年级数学上册专题提优特训17 第二十四章 圆的综合应用（含答案）

专题提优特训17 圆的综合应用 题型1 与三角形的综合应用 1.如图，在以AB 为直径的⊙O中，已知弦CD⊥AB 于点M,且 点P 是优弧CAD 上的一个动点，连接CP，BP，过点O作OF⊥CP 于点 F,交BP 于点G,连接AG. (1)求 BC 的长; (2)当点 P 在运动过程中，求AG的最小值. 2.(2023·济宁中考)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD=CB,BE 切⊙O于点B,过点C作CF⊥OE 交BE 于点F,EF=2BF. (1)如图(1),连接BD,求证:△ADB≌△OBE. (2)如图(2),N 是AD 上一点,在AB 上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN，BM，DN 有怎样的数量关系 并证明你的结论. 题型2 与四边形的综合应用 3.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点 E,F 分别在线段BC,AD 上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF. (1)求证:CF⊥FB; (2)求证：以 AD为直径的圆与BC 相切； (3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE 的面积. 4.如图,线段AB 与⊙O相切于点 B,AO 交⊙O于点 M,其延长线交⊙O 于点 C,连接 BC,∠ABC=120°,D 为⊙O上一点且 的中点为M,连接AD,CD. (1)求∠ACB 的度数. (2)四边形ABCD 是否是菱形 如果是，请证明；如果不是，请说明理由. (3)若AC=6,求的长. 题型3 与变换的综合应用 5.[问题提出] (1)如图(1),在四边形ABCD 中,AB=AD=3,∠BCD=∠BAD=90°,AC=4,求 BC+CD 的值. [问题解决] (2)有一个直径为 30cm的圆形配件⊙O，如图(2)所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC(点 B 在⊙O 上),要求∠O=∠B=60°,OA=OC,并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小，试问：是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC 若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值，及此时OA 的长；若不存在，请说明理由. 6.四点共圆模型(2023·日照中考)在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题： 如图(1),△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α 点 D 是 BC 边上的一动点(点 D 不与B,C 重合),将线段AD 绕点A 顺时针旋转α到线段AE，连接BE. (1)求证:A,E,B,D 四点共圆; (2)如图(2),当AD=CD时,⊙O 是四边形AEBD 的外接圆,求证:AC 是⊙O 的切线; (3)已知α=120°,BC=6,点 M 是边 BC 的中点，此时⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心 P 与点M 距离的最小值. 专题提优特训17 圆的综合应用 1.(1)∵CD⊥AB 于点M,且 ∴BC=2(负值已舍去),∴BC 的长是2. (2)如图,取 BC的中点K,连接MK,CG,OC,则 ∴MK=BK=MB, ∴△KBM 是等边三角形, ∴∠OBC=60°, ∴△BOC 是等边三角形, ∴OA=OB=OC=BC=2, OM=MB=1,∠BOC=60°, OA+OM=3. ∵OF⊥CP 于点F,∴CF=PF,∴CG=PG, ∴∠GCP=∠P=30°,∴∠BGC=∠GCP+∠P=60°. 作△BGC的外接圆交AB 于点 J,则∠BJC=∠BGC=60°,∴∠BCJ=∠BJC=∠JBC=60°, ∴CJ 与CO重合,∴点 J 与点O重合. 作OH 平分∠BOC交CM于点 H,连接GH,AH,则OH所在的直线垂直平分BC，∴点 H 是△BOC 的外心. 且等边三角形的重心与外心重合， ∵点G在⊙H上, ∴AG 的最小值为 2.(1)∵CF⊥OE,OC是半径,∴CF 是圆O的切线. ∵BE 是圆O的切线,∴BF=CF. ∵EF=2BF,∴EF=2CF,∴∠E=30°,∠EOB=60°. ∵CD=CB,∴CD=CB,∴OC⊥BD. ∵AB 是直径,∴ ∵∠E+∠EBD=90°,∠ABD+∠EBD=90°, ∴∠E=∠ABD=30°,∴AD=BO= AB, ∴△ADB≌△OBE(AAS). (2)MN=BM+DN.证明如下: 延长ND 至点H 使得DH=BM,连接CH,BD,如图所示， ∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°, ∴∠HDC=∠MBC. 又CD=CB,DH=BM, ∴△HDC≌△MBC(SAS), ∴∠BCM=∠DCH,CM=CH. 由(1)可得∠ABD=30°. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∴∠A=60°, ∵∠MCN=60°, ∴∠DCH+∠NCD=∠NCH=60°, ∴∠NCH=∠NCM. 又NC=NC,CH=CM,∴△CNH≌△CNM(SAS), ∴NH=MN,∴MN=DN+DH=DN+BM, ∴MN=BM+DN. 3.(1)∵CD=DF,∴∠DCF=∠ ... ...