专题大招15 圆中常见的辅助线 大招1 作半径 ①连接过弦的端点的半径，可得到等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和圆的性质进行角度的转换求解；②连接过弧的中点的半径，可利用圆心角、弧、弦的关系解题；③当已知切线，常连接过切点的半径，利用切线的性质解题；④证切线时，当知道这条直线与圆的交点，连接过交点的半径，证半径和这条直线垂直即可. 1.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点 H,交⊙O 于点D,CE 平分∠DCO 交⊙O 于点 E,求证：E为 的中点. 2.(2025·天津红桥区期末)如图,AB 为⊙O的直径,PD 切⊙O于点C,交AB 的延长线于点 D. (1)如图(1),若∠D=50°,求∠PCA 的大小; (2)如图(2),若CA=CD,求∠PCA 的大小. 大招2 作弦心距或连接圆心与弦的中点 ①作弦心距可利用垂径定理解决问题；②连接圆心与弦的中点可利用垂径定理的推论解决问题. 3.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于 C,D 两点,若 AB =10cm,CD=6cm,大圆半径为7 cm，则小圆的半径为 . 4.(2025·浙江绍兴嵊州期中)如图,AB,CD 为⊙O 的两条弦,且 AB=CD,M,N 分别为AB,CD的中点,求证:∠AMN=∠CNM. 大招3连接圆上两点的弦 ①连接圆上两点的弦，利用同弧所对的圆周角相等解题；②连接圆上两点的弦，巧构造直径所对的圆心角. 5.如图,圆内接四边形 ABCD 的外角∠DCH=∠DCA,DP⊥AC,垂足为 P,DH⊥BH,垂足为H.求证： (1)CH=CP; (2)AP=BH. 6.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,P 是AC延长线上一点且AC=PC，PB 的延长线交⊙O于点D.求证:AC=DC. 大招4 作直径 ①作直径，巧用直径所对的圆周角是直角或直角三角形，结合直角三角形的性质解题；②要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接半径不易证垂直时，作直径，再利用圆周角性质解答. 7.如图,已知⊙O的半径为r,弦AB,CD 相互垂直,连接AD,BC.求证: 8.如图,P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点,点 A在⊙O上,且∠C=∠BAP.求证:PA 是⊙O的切线. 大招5 过圆心作垂线段 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径. 9.(2025·广东广州中学期中)如图,O 为∠BAC 平分线上一点,OD⊥AB 于点D,以O为圆心,OD为半径作⊙O,求证:⊙O 与AC 相切. 10. (2025·福建福州长乐区期中)如图,在 Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O 为圆心,2.4为半径作⊙O.求证:AB 是⊙O的切线. 1.连接OE.∵OC=OE,∴∠OCE=∠E. ∵CE 平分∠DCO,∴∠OCE=∠DCE, ∴∠DCE=∠E,∴OE∥CD. ∵弦CD⊥AB,∴OE⊥AB,∴E为 的中点. 2.(1)如图(1),连接OC. ∵PD切⊙O于点C,∴OC⊥PD, ∴∠OCD=90°. ∵∠D=50°, (2)如图(2),连接OC,设∠A=x. ∵CA=CD, ∴∠D=∠A=x, ∴∠COD=2∠A=2x. ∵∠OCD=90°, ∴∠COD+∠D=90°,即2x+x=90°,解得x=30°,∴∠PCA=∠A+∠D=2x=60°. [解析]如图,作OE⊥AB,垂足为E ,连接OA,OC.由垂径定理知，点E 是CD 的中点，也是AB 的中点， ∴AE=BE,CE=DE. 在 Rt△AOE 中, 5cm,OA=7cm, 在 Rt△OCE 中, 即小圆的半径为 4.如图,连接OM,ON. ∵M,N分别为AB,CD 的中点, ∴∠AMO=∠CNO=90°.又AB=CD,∴OM=ON, ∴∠OMN=∠ONM, ∴∠AMO-∠OMN=∠CNO-∠ONM, ∴∠AMN=∠CNM. 5.(1)∵DH⊥BH,DP⊥AC,∴∠H=∠DPC=90°.在△DHC与△DPC中, ∴△DHC≌△DPC(AAS),∴CH=CP. (2)如图，连接DB，由圆周角定理，得∠DAC=∠DBH. ∵△DHC≌△DPC, ∴DH=DP. ∵DP⊥AC,DH⊥BH, ∴∠DPA=∠DHB=90°, ∴△DAP≌△DBH(AAS), ∴AP=BH. 6.连接BC.∵AB 为⊙O的直径,∴∠ACB=90°. 又AC=PC,∴AB=PB,∴∠A=∠P. ∵∠D=∠A,∴∠D=∠P,∴DC=PC,∴AC=DC. 7.如图,作⊙O的直径DE,连接AE,CE. ∵DE 是⊙O的直径,∴EC⊥CD. 又AB⊥CD,∴AB∥EC, ∴AE=BC,∴AE=CB. 由 DE 是⊙O 的直径,得∠EAD=∠ECD=90° ... ...
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