2.2 基本不等式 课件（共18张PPT）-2025-2026学年高一上册数学人教A版必修第一册

人教A版高中数学必修第一册 2.2 基 本 不 等 式 学习目标 能推理得到基本不等式，并理解几何意义； 掌握应用基本不等式求最值的两种模型；（重难点） 会利用基本不等式判断不等式关系及比较大小； 能应用基本不等式解决简单的实际问题，并证明不等式。（难点） 旧知回顾 特别地， 对于任意????，????∈????，有 ? ????2+????2≥2???????? ? 当且仅当????=????时，等号成立。 ? 如果????＞0，????＞0，我们用????,????分别代替上式中的????，????，可得 ? ????????≤????+????2 ? 当且仅当????=????时，等号成立。 ? 基本不等式 讲授新知 如果????＞0，????＞0，且????，????∈????，可得 ? ????????≤????+????2 ? 当且仅当????=????时，等号成立。 ? 基本不等式 ????+????2 ? 正数????，????的算术平均数 ? ???????? ? 正数????，????的几何平均数 ? 讲授新知 能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式？ 故 （当且仅当a=b时，等号成立） 要证 当且仅当a=b时，不等式中的等号成立． 只要证 只要证 只要证 显然上式成立． 只要证 分析法 探 究 在图2.2-1中，????????是圆的直径，点????是????????上一点，????????=????，????????=????.过点????作垂直于????????的弦????????，连接????????，????????.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ ? 图 2.2-1 如图2.2-1，可证△ACD∽△DCB，从而有????????????=????????????，因而CD= ???????? ，又圆的半径为????+????2 。由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 ????????≤????+????2. 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立． ? 随堂练习 1.（多选）下列说法正确的是 ( ). A. 对于?????,????∈????， 成立 B. 若????>0,????>0且????≠????，则????+????>2???????? C.对?????,????∈????，????2+????2≥2???????? D.若????>0，则????+1????≥2中可以取等号 ? B C 重要不等式与基本不等式的异同 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 重要不等式 基本不等式 不等式 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 ????,????∈???? ? ????>0,????>0 ? 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a=b 例题解析 例1 已知????>0,求????+????????的最小值. ? 解：因为????>????, ? 所以 ????+1????≥2?????1????=2, ? 当且仅当????=1????， ? 即 ????????=????,????=????时，等号成立， ? 因此所求的最小值为2. 思考 当 ????<0时,求????+????????的最大值. ? 一正 二定 三相等 思维提升 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正； 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值（恰当 变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧）； 三是考虑等号成立的条件是否具备。 以上三点缺一不可 例题解析 例2 已知????，????都是正数,求证： ? 当且仅当????=????时，上式等号成立.于是，当????=????时，和????+????有最小值????????. ? （2） 如果和????+????等于定值????,那么当????=????时，积????????有最大值????????????????. ? 解：因为????，????都是正数, ? 所以 ????+????2≥????????. ? (1)当积????????等于定值????时, ? ????+????2≥????, ? 所以 ????+????≥2????. ? （1） 如果积????????等于定值????,那么当????=????时，和????+????有最小值????????； ? 例题解析 例2 已知????，????都是正数,求证： ? （2） 如果等于定值????,那么当????=????时，积????????有最大值????????????????. ? 解：因为????，????都是正数, ? 所以 ????+????2≥????????. ? (2)当和????+????等于定值????时, ? ????????≤????2, ? 所以 ????????≤????????????????. ? 当且仅当????=????时，上式等号成立.于是，当????=???? ... ...