中小学教育资源及组卷应用平台 专题11.5 因式分解 基础知识夯实 知识点01 因式分解 1.定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 2.整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互逆的变形 (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 注意： 1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积 2.因式分解是恒等变形 3.因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止. 知识点02 公因式 1．定义 多项式 中的每一项都含有一个相同的因式 ，我们称之为公因式． 2．公因式的确定 （1）确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． （2）确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中的最低指数． （3）若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式．如 的公因式是 注意： 1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 2.公因式可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式. 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式. 知识点03 提公因式法 1．定义 把公因式提出来，多项式 就可以分解成两个因式 和 的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法． 用字母表示为 ． 2．提公因式法的一般步骤 （1）找出公因式，就是找出各项都含有的因式； （2）确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商； （3）写成积的形式． 注意： 1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律 2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商 知识点04 用平方差公式分解因式 1．平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即： ． 2．平方差公式的特点 （1）等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； （2）等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差． 3.运用平方差公式分解因式的步骤 一判:根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面; 二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或单独一个字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套:套用平方差公式进行分解； 四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简的形式. 注意： 1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式 2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与这两数差的积的条件后，结果写成乎方差形式:而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差 知识点05 用完全平方公式分解因式 1．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 即： ． 2．完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和（或差）的平方． 3.因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式 (2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 注意： 1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用 2.结果是和的乎方还是差的平方由乘积项的符号确定，也可以是“_”，但两个平方项乘积 ... ...
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