第二节 空间向量基本定理 ▍知识点1:空间向量基本定理 如果空间中的三个向量,,不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得.其中,空间中不共面的三个向量,,组成的集合{,,},常称为空间向量的一组基底.此时,,,都称为基向量;如果,则称为在基底{,,}下的分解式. 注意:基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. ▍知识点2:空间向量的正交分解 （1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. （2）正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 基底向量的概念 基底判断的基本思路及方法: （1）基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. （2）方法: ①若向量中存在零向量,则不能作为基底;若存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设,运用空间向量基本定理,建立关于的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 【典例 1】（多选）设是空间的一个基底,则下列结论正确的是（ ） A.可以为任意向量 B.对任一空间向量,存在唯一有序实数组,使 C.若,则 D.可以构成空间的一个基底 【典例 2】（多选）下列说法正确的是（ ） A.若两个非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D.若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底 【练习 3】（多选）下列选项中正确的是（ ） A.若存在实数x,y,使,则点P,M, A,B共面; B.若与共面,则存在实数x,y,使; C.若向量所在直线是异面直线,则向量一定不共线; D.如果是空间的三个向量,则对空间任一向量,总存在唯一的有序实数组,使得. 【练习 4】如图,在平行六面体中,可以作为空间向量的一个基底的是（ ） A.,, B.,, C.,, D.,, 【练习 5】（2024·四川高二练习）已知是空间的一个基底,设,则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D.以上都不对 【练习 6】若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是（ ） A.、、 B.、、 C.、、 D.、、 【练习 7】若是空间的一个基底,且向量不能构成空间的一个基底,则（ ） A. B.1 C.0 D. 【练习 8】（多选）已知向量能构成空间的一组基底,则能与向量构成空间另一组基底的向量是（ ） A. B. C. D. 用基底表示空间向量 【典例 9】如图,在平行六面体中, ,,, P是的中点,M是的中点,N是的中点,用基底表示以下向量: （1）; （2）; （3）. 【练习 10】（2024·全国高二课后）已知在三棱台中,,设,以为空间的一个基底表示向量. 【练习 11】（2023·高二专题）如图,在空间四边形中,,,,且, ,则等于（ ） A. B. C. D. 【练习 12】（2023·高二专题）数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥为阳马,平面,且,若,则（ ） A. B. C. D. 【练习 13】在四面体中,是的中点, 是的中点.设,,,则（ ） A. B. C. D. 【练习 14】在正四面体中,,, ,为中点,为靠近的三等分点,用向量,,表示（ ） A. B. C. D. 【练习 15】已知三棱锥,点是的中点,点是的重心（三角形三条中线的交点叫做重心）设, ,,则向量用基底可表示为（ ） A. B. C. D. 重点题型专练 空间向量基本定理的应用 角度1:求线段长或模长 【典例 16】（2023·高二课时练习）如图所示,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,,.求线段的长. 【练习 17】（2024·上海高二）如图所示,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,且和的夹角都是, 是中点,设,,,试以,,为基向量表示出向量, ... ...
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