位似变换中点的坐标的确定 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为k，那么原图上点（x，y）的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用. 一、已知原坐标及相似比 例1 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5） 解析：根据题意，得线段CD与线段AB是以原点O为位似中心，相似比为的位似图形.因为线段CD在第一象限，所以点C的横坐标和纵坐标均为对应点A的横坐标和纵坐标的一半.所以端点C的坐标为（3，4）.故选C. 点评：在位似变换中，已知原图形的坐标及相似比，可以直接利用位似变换规律求对应点的坐标.解题时要注意位似图形位于位似中心的同侧还是异侧，确定所乘相似比的正负. 二、已知原坐标，不知相似比 例2 在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为（0，-6），则点A的对应点A′的坐标为（ ） A．（-2，-4） B．（-4，-2） C．（-1，-4） D．（1，-4） 解析：因为点B（0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），点O为位似中心，所以△OA′B′与△OAB的相似比为2，且△OA′B′与△OAB位于位似中心的两侧，所以点A（1，2）的对应点A'的坐标为（-2，-4）.故选A. 点评：在位似变换中，已知原图形的坐标，但没有给出相似比，要先通过一组对应点的坐标求出相似比，再按照位似变换的规律求解. 三、已知原坐标及相似比，同异侧不确定 例3 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，若点P（m，n）是线段AB上一点，则点P的对应点P′的坐标为（ ） A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（-2m，-2n） C．（m，n） D．（m，n）或（-m，-n） 解析：以原点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，所以变换后的图形与原图形的相似比为2.把△AOB放大可以在位似中心的同侧放大，也可以在异侧放大，所以点P的对应点P′的坐标为（2m，2n）或（-2m，-2n）.故选B. 点评：在位似变换中，当题中没有给出明确的限定条件时，需要分位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况进行讨论，变换后与变化前的对应点坐标的比等于k或-k. 四、位似中心非原点 例4 如图，在△ABC中，B，C两个顶点在x轴的上方，点A的坐标是（1，0），以点A为位似中心，把△ABC的边长缩小为原来的，记所得图形为△ADE.设点C的对应点E的横坐标为a，则点C的横坐标为 . 解析：分△ABC与△ADE在点A的同侧和异侧两种情况进行讨论. ①如图，当△ABC与△ADE在点A的同侧时，过点E作EM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N. 因为点A的坐标是（1，0），点E的横坐标为a，所以AM=1-a. 因为△ADE与△ABC的相似比为，所以. 因为ME∥CN，所以，即.解得AN=2-2a. 所以点C的横坐标为-（2-2a-1）=2a-1. ②如图，当△ABC与△ADE在点A的异侧时，过点E'作E'F⊥x轴于点F. 因为点A的坐标是（1，0），点E'的横坐标为a，所以AF=a-1. 同理，得AN=2a-2. 所以点C的横坐标为-（2a-2-1）=3-2a. 综上，点C的横坐标为2a-1或3-2a. 点评：在位似变换中，若位似中心不是原点，首先要确定位似图形的位置，再在图中寻找或构造相似三角形，利用其性质解题.分析已知条件 确定证明方法 类型1 已知条件只涉及角 例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E. （1）求证：△BDE∽△CAD； （2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长. 图1 解析：（1）因为AB=AC，AD为BC边 ... ...
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