由一道中考题说十字架模型 中考题呈现 （2023·黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P． （1）求证：△ABN≌△DAM； （2）求∠APM的度数． 思路点拨：（1）由正方形的性质，利用SAS证明全等即可；（2）根据全等的性质可知∠MAP=∠ADM，由∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP即可求得∠APM的度数． 方法总结：分别连接正方形两组对边上任意两点，若连线互相垂直，则连线相等，此结论称为正方形中的十字架模型，总结如下： 图 示 证 明 十字模型 已知ABCD为正方形，若AF⊥BE（EG⊥FH），则AF＝BE（EG＝FH） 方法一 方法二 分别将FH，EG平移至AM，BN位置（作平行线）,证明△BAN≌△ADM 过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，证明△EMG≌△FHN E D H B G E D E D 0 变形 F B C B G NE D H M E H N B M利用对角线的性质巧计算 一、利用矩形对角线的性质计算 例1 如图1，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若∠OBC＝25°，则∠BOE＝ ． 分析：易知△OBC为等腰三角形，从而可求出∠BOC，进而根据等腰三角形的三线合一可求∠BOE． 解：在矩形ABCD中，BO＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝25°． 所以∠BOC＝130°． 在等腰△OBC中，点E是BC的中点，所以∠BOE＝∠COE＝65°． 二、利用菱形对角线的性质计算 例2 如图2，菱形ABCD中，∠ADC＝140°，CF⊥DB，则∠DFC＝ ． 分析：由菱形的对角线平分一组对角，可求出∠FDC，进而利 用直角三角形中两锐角互余可求∠DFC． 解：在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，所以∠FDC＝∠ADC ＝70°．在Rt△DFC中，∠DFC＝90°－∠FDC＝20°． 三、利用正方形对角线的性质计算 例3 如图3，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，BE⊥PC，垂足为E，AP＝3，BE＝4，则△BPC的面积是 ． 分析：根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，知PC＝AP＝3，从而 易求△BPC的面积． 解：连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以对角线AC与BD互相垂直平分．所以PC＝AP＝3，所以S△BPC＝PC·BE＝×3×4＝6． 例4 如图4，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G.若正方形ABCD的边长是10，则四边形EFBG的周长为 . 分析：由正方形性质，易知△AEF和△ECG都是等腰直角三角形，从而有CG＝EG，又EF＝GB，所以四边形EFBG的周长＝2（EG+EF）＝2（CG+GB）＝2CB. 解：因为EF⊥AB，EG⊥BC，所以∠EFB＝90°，∠EGB＝90°. 又∠B＝90°，所以EF∥GB，EG∥BF，所以四边形EFBG是平行四边形，所以EF＝GB. 因为∠ACB＝45°，所以△AEF和△ECG都是等腰直角三角形，所以CG＝EG. 所以四边形EFBG的周长＝2（EG+EF）＝2（CG+GB）＝2CB＝20. 图1 A B D C O E A B C D 图2 F C A B C D P 图3 E D C B A E G F 图4矩形折叠问题解法展示 矩形是一种特殊的平行四边形，在中考中，矩形的折叠问题因其知识面覆盖广、操作性强、解法灵活等，深受命题老师的喜爱，下面举例解析，供同学们参考！ 例 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．若AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长. 解析：方法一：连接OQ，如图2． 因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠B＝∠C＝∠D＝90°. 由作图，知OB＝OC. 由折叠的性质，得AP＝AB＝3，OP＝OB，∠APO＝∠B＝90°，所以OP＝OC，∠QPO＝∠C＝90°. 又因为OQ＝OQ，所以Rt△QPO≌Rt△QCO（HL）.所以PQ＝CQ. 设PQ＝CQ＝x，则AQ＝3+x，DQ＝3﹣x. 在Rt△ADQ中，由勾股定理，得AD2+DQ2＝AQ2，即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝. 所以线段CQ的长为. 方法二： ... ...
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