微专题5 等腰三角形中常见的处理方法 同步练习题（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学上册

微专题5 等腰三角形中常见的处理方法 1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分 于点E， 于点F,DE=1.3c m,则. 2.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分外角 交AC于O.求证:OE=OF. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分 交BC于E.求证:BE=2CD. 4.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,垂足为D,若BD=2,CD=8,,求AB的长. 5.如图,A(-3,0),B(0,6),△ABC为等腰直角三角形. (1)若AB 是直角边，直接写出点C的坐标是 ； (2)若AB 是斜边，求出符合条件的点C坐标. 6.如图,AE,BC交于点D,且AB=CE,∠B+∠DCE=180°.求证:AD=DE. 7.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点 D 为直线BC下方一点. (1)如图1,若DB=CD,求证:DA平分∠BDC; (2)如图2,若∠ABD+∠ACD=180°(∠ABD>∠ACD),过点A作CD 的垂线,垂足为E,DE=3,CD=5,求BD的长. 8.已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC. (1)如图1,点D在BC的延长线上,连接AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF; (2)如图2,点D在线段BC上,连接AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交AC于F，连接DE，问BD与CF 有何数量关系 并加以证明； (3)如图3,点D在CB 延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE,AC的延长线交BE 于点M,若AC=3MC,请直接写出 的值. 微专题5 等腰三角形中常见的处理方法 1.2.6 2.∵CE 平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE, 又∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE.∴∠OEC=∠OCE.∴OE=OC.同理OF=OC,∴OE=OF, 3.作DF∥AB交BC 于F,∴∠DFC=∠ABC=∠C,∠ABD=∠BDF.∴DF=DC.∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBF.∴∠DBF=∠BDF,∴DF=BF.又∠FDE=∠DEF=90°-∠DBF.∴DF=EF.∴BE=BF+EF=2DF=2CD. 4.在 DC上截取DE=BD,连接AE,∵BD=DE,AD⊥BE,∴AD 垂直平分 BE,∴AB=AE.∴∠B=∠AEB.∵∠AEB=∠C+∠EAC,∠ABC=2∠C,∴∠C=∠EAC,∴AE=EC,∵BD=DE=2,DC=8,∴CE=6,∴AB=AE=CE=6. 5.(1)(6,3)或(3,-3)或(-9,3)或(-6,9) (2)当点C在第二象限时，过点C作l⊥x轴于M.过B作BN⊥l于N,∴△CBN≌△ACM.设AM=CN=x,则OM=3+x=NB=CM.∴NM=3+2x=6,∴x= 同理，当点C在第一象限时，C 综上所述，符合条件的点 C 坐标为 或 6.过 A 作 AF ∥CE 交 BD 于点 F.∵AF∥CE,∴∠AFD=∠DCE. 又∵∠AFB+∠AFD=180°,∠B+∠DCE=180°,∴∠AFB=∠B,∴AB=AF.∵AB=CE,∴AF=CE.又∵∠AFD=∠DCE,∠ADF=∠EDC,∴△ADF≌△EDC(AAS).∴AD=DE. 7.(1)∵AB=AC,DB=DC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.∵∠BDA=∠CDA,∴DA 平分∠BDC.(2)作AF⊥DB 交 DB 的延长线于 F,连接 AD.∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD+∠ABF=180°,∴∠ABF=∠ACD.∵∠AFB=∠AEC=90°,AB=AC,∴△ABF≌△ACE(AAS).∴AF=AE,BF=CE.又∵AD=AD,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).∴DF=DE=3.又∵CD=5,∴CE=BF=2,∴BD=DF-BF=1. 8.(1)∵BE⊥AD,∴∠AEF=∠BCF=90°.∵∠AFE=∠CFB,∴∠DAC=∠CBF.∵BC=CA,∠BCF=∠ACD=90°.∴△BCF≌△ACD,∴BF=AD.(2)结论:BD=2CF.理由:作EH⊥AC于H.∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°,∴∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAH=90°,∴∠ADC=∠EAH.又∵AD=AE,∴△ACD≌△EHA,∴CD=AH,EH=AC=BC,∴BD=CH.∵∠EHF=∠BCF=90°,∠EFH=∠BFC,EH=BC,∴△EHF≌△BCF,∴FH=CF,∴BD=CH=2CF.(3)BB=