南康中学高三数学训练试卷（一） 命题人、审题人 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C．2 D．1 3．设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则（ ） A．3 B． C． D． 5．若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．若函数，且的图象所过定点恰好在曲线上，则的最小值为（ ） A．18 B．16 C．12 D．6 7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，则下列结论正确的是（ ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 10．如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（ ） A．直线与直线是异面直线 B．平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4不同的根 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．记三角形ABC面积为，，，则 . 13．已知函数是偶函数，则 . 14．已知直线是曲线与的公切线，则 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列是等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16．为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表. 分数段 人数 1 2 2 8 3 3 1 规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀. (1)从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？ (2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差. 17．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 18．已知椭圆：经过点，且离心率为， （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值. 19．已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值． 答案第2页，共7页 南康中学高三数学训练试卷（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C D C B B C A BCD BD ABD 6．由题意得，函数，且的图象所过定点为，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 7．因为在上单调递增，在上单调递增. 而，，所以的取值范围为. 8.因为左焦点，，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，，， 所以，设，则，解得. 又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为，则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 9．对于A：，故A错误. 对于B：，因为，所以，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 10．对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所 ... ...
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