中小学教育资源及组卷应用平台 专题2.3 实数 基础知识夯实 知识点01 无理数 1.有理数与无理数 1） 小数和 小数都称为有理数。 2） 小数又叫无理数。 注意：因为分数可以转化为有限小数或无限循环小数，所以无理数 写成分数形式（m、n为整数）。 3）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….。 估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ ”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 知识点02 实数及其分类 1）实数： 和 统称为实数。 2）实数的分类 实数 实数 实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用 上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 。故实数与数轴上的点 对应。 知识点03 用计算器进行实数运算 1、实数的性质： 有理数的绝对值、倒数、相反数的意义、有理数的运算法则在 范围内仍然使适用。 2.使用计算器进行实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）的基本操作步骤： 1） 开机准备（按 ON）；2） 输入第一个数字；3）选择运算符；4）输入第二个数字；5）执行计算（即按“=”）并得出结果；6）计算完成后。 注意： 1）2ndF键相当于SHIFT键 ，用于激活按键的第二功能。如：使用立方根就需要先SHIFT键或2ndF键。 2）若需输入平方根，则需要先按根号键，再按具体数字；若需输入立方根，则需要先SHIFT键，再按根号键，最后按具体数字即可。 典型案例探究 知识点01 无理数 例1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）在实数，3.1415926，，1.3030030003 （两个3之间依次多一个0）中，无理数有（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的说法错误的是 （ ） A．圆周率是一个无限小数 B．圆周率是一个实数 C．圆周率可以在数轴上表示出来 D．圆周率是一个有理数 【变式2】（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式3】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是 ．（要求：精确到十分位） 【变式4】（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且，则，即 ① ． 因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则．所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数． 【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数． 知识点02 实数及其分类 例1．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中： ① ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ 正实数集合{_____…}； 无理数集合{_____…}； 整数集合{_____…}； 分数集合{_____…}． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．① ... ...
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