2.4.2 圆的一般方程 学案设计 学习目标 1.正确理解圆的一般方程及其特点; 2.会由圆的一般方程求其圆心、半径; 3.会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程,并能简单应用. 自主预习 知识点:圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念 当 时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为 ,半径长为 . 课堂探究 1.数学情境: 方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0.一般地,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)的形式.反过来,形如(*)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗 2.探究活动: 研究圆与形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程之间的关系,应讨论以下基本问题: (1)这类方程是否都是圆的方程 (2)如果这类方程表示圆,其系数D,E,F具有什么条件 (3)这类方程是圆的方程时,能否直接根据系数写出圆的圆心坐标,求出圆的半径 (4)这类方程如果不表示圆,方程表示什么曲线 判断正误. (1)方程x2+y2+x+1=0表示一个圆. ( ) (2)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( ) (3)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( ) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. ( ) 3.迁移运用: 例1 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆. (1)求实数m的取值范围; (2)写出圆心坐标和半径. 例2 求过O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)三点的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径. 核心素养专练 1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是( ) A.以(1,-2)为圆心,为半径的圆 B.以(1,2)为圆心,为半径的圆 C.以(-1,-2)为圆心,为半径的圆 D.以(-1,2)为圆心,为半径的圆 2.若方程2x2+2y2-ax+=0表示的曲线是圆,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.R C.(-2,2) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 3.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,3),半径为3的圆,则a,b,c的值依次是( ) A.2,6,4 B.-2,6,4 C.2,-6,4 D.2,-6,-4 4.圆x2+y2-2x+6y+6=0的周长是 . 5.若圆经过两点(2,0)和(0,-4),且圆心在直线y=-x上,则其方程为 . 6.求过点A(1,2),B(1,0)且圆心在直线x-2y+1=0上的圆的方程. 参考答案 自主预习 1.D2+E2-4F>0 2. 课堂探究 1.数学情境: 例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方,得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.所以形如(*)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(*)的方程不一定是圆的方程. 2.探究活动: 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方,并把常数项移到右边,得 . ① (1)不是. (2)D2+E2-4F>0. (3)圆心坐标为,半径为. (4)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有实数解x=-,y=-,它表示一个点; 当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形. 思考辨析:(1)× (2)× (3)× (4)√ 3.迁移应用: 例1 解 (1)由表示圆的条件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,得m<. (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径为. 例2 解 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组 解这个方程组,得 所以,所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径r==5. 核心素养专练 1.D 解析 方程可化为(x+1)2+(y-2)2=11,可知该方程表示圆心为(-1,2),半径为的圆. 2.A 解析 原方程可化为x2+y2-x+=0,所以方程表示圆的条件是-4×>0, ... ...
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