第一章 本章总结提升（课件 学案）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第一册

本章总结提升 【知识辨析】 1.×　2.√　3.√　4.√ 【素养提升】 题型一 例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)=+=-=+-=+-.故选C. (2)对于A,因为2a+b+a-b-c=3a-c,所以2a+b,a-b-c,3a-c共面;对于B,因为a-2b-(a+b+c)=-3b-c,所以a-2b,a+b+c,-3b-c共面;对于D,因为2(a-2b)+a+b+c=3a-3b+c,所以a-2b,a+b+c,3a-3b+c共面;对于C,假设存在实数x,y满足x(2a+b)+y(a-c)=3a+b-2c,所以(2x+y)a+xb-yc=3a+b-2c,即该方程组没有实数解,所以不存在实数x,y满足x(2a+b)+y(a-c)=3a+b-2c,故2a+b,a-c,3a+b-2c不共面.故选C. 变式　(1)C　(2)A　[解析] (1)因为P,A,B,C四点共面,所以存在m,n∈R,使得=m+n,则-=m(-)+n(-),所以=(1-m-n)+m+n=++t,即解得t=.故选C. (2)根据题意知=(+)=-+=-b+,因为=+=-+-=a+c-2b,所以=-b+(a+c-2b)=a-b+c.故选A. 题型二 例2　(1)-　(2){x|x<-4}　[解析] (1)由题得=(+)=(-+-)=+-,=+=-.因为∠BAD=∠BAC=∠CAD=,||=||=||=1,所以·=·=·=,所以·=·=||2-||2-·-·+·=-. (2)易知a,b不共线,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,由a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),可得3x+2(2-x)<0,解得x<-4,所以实数x的取值范围是{x|x<-4}. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)由题意可得即可得n=m=p=,所以cos<,>=n2=,又<,>∈[0,π],所以<,>=.故选C. (2)因为AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠DAA1=∠BAA1=,所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=,a·c=,b·c=.对于A,由空间向量的运算法则,可得=-=(+)-=-(a+b)=-a-b+c,故A不正确;对于B,由=a+b+c,=-a-b+c,可得·=(a+b+c)·=-a2-a·b+a·c-a·b-b2+b·c-a·c-b·c+c2=--×+-×-+-×-×+1=0,所以<,>=,故B不正确;对于C,因为=++=-++=-a+b+c,所以=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=2,所以||=,故C不正确;对于D,由=a+b,=-a-b+c,可得·=(a+b)·=-a2-a·b+a·c-a·b-b2+b·c=--×+-×-+=-,故D正确.故选D. 题型三 例3　解:由题知AD,AB,AP两两垂直,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),设D(a,0,0)(a>0),则C(a,1,0). (1)∵E为BC的中点,F为BP的中点,∴E,F,∴=,=(0,0,1),=(a,1,0).设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z), 则即 取x=1,得n=(1,-a,0),∴·n=0,∴⊥n. 又EF 平面PAC,∴EF∥平面PAC. (2)证明:∵点E在棱BC上,∴可设E(m,1,0),0≤m≤a, ∴=(m,1,-1),又=,∴·=0, ∴PE⊥AF,∴无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF. 变式　证明:如图,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系. 设DC=a(a>0),PD=b(b>0),则D(0,0,0),A(0,a,0),C(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,b),E. (1)=(a,0,-b),=,=(a,a,0). 设平面EBD的一个法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=1,得n=.因为·n=(a,0,-b)·=0, 所以⊥n,又PC 平面EBD,所以PC∥平面EBD. (2)由题意得平面PDC的一个法向量为=(0,a,0),=(a,a,-b),=(a,0,-b),设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则即 令x1=1,得m=.因为·m=(0,a,0)·=0,所以⊥m,所以平面PBC⊥平面PCD. 题型四 例4　解:(1)证明:在△AEF中,AE=AD=2,AF=AB=4,∠EAF=30°, ∴cos∠EAF===,∴EF=2. ∵EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,得PE⊥EF,DE⊥EF, 又PE∩DE=E,PE,DE 平面PDE,∴EF⊥平面PDE, 又∵PD 平面PDE,∴EF⊥PD. (2)连接CE,∵DE=5-2=3,CD=3,∠CDE=90°,∴CE2=36,得CE=6. 又PE=AE=2,PC=4,∴PE2+CE2=PC2,∴PE⊥CE. 又PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CE 平面DEC, ∴PE⊥平面DEC,∴PE⊥ED,即EF,ED,EP两两垂直. 以E为原点,EF,ED,EP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),D(0,3,0),F(2,0,0),A(0,-2,0),C(3,3,0),由F为AB的中点,得B(4,2,0),得=(0,3,-2),=(-3,0,0),=(4,2,-2),=(-2,-2,0). 设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则∴ 令y1=2,则n1=(0,2,3). 设平面PBF的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则∴ 令x2=,则n2=(,-1,1) ... ...