(
课件网) 2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 探究点一 椭圆的定义及应用 探究点二 椭圆的标准方程 探究点三 求与椭圆有关的轨迹方程 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解椭圆的实际背景; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简 过程; 3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 知识点一 椭圆的定义 1.椭圆的定义 （1）定义：如果，是平面内的两个定点， 是一个常数，且 ，则平面内满足_____的动点 的轨迹称为 椭圆. （2）相关概念：两个定点， 称为椭圆的_____，两个焦点之间 的距离 称为椭圆的_____. 焦点 焦距 2.焦距常用____表示. 椭圆定义的数学表达式:_____. 3.椭圆定义的三个要点： （1）在平面内，， 是两个定点； （2） 为定长； （3）定长 . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）已知，，平面内到， 两点的距离之和等于 2的点的轨迹是椭圆.( ) × [解析] ，故动点轨迹不存在. （2）已知，，平面内到， 两点的距离之和等于 4的点的轨迹是椭圆.( ) × [解析] ，故动点轨迹是线段 . （3）已知，，平面内到， 两点的距离之和等于 6的点的轨迹是椭圆.( ) √ [解析] ,故动点轨迹是椭圆. 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 _ _____ _ _____ 图形 _____ _____ 焦点坐标 _____ _____ ,, 的关系 _____ , , 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在椭圆中，,,的关系是 .( ) × [解析] 在椭圆中，,,的关系是 . （2）已知椭圆的方程为，则椭圆的焦点在 轴上.( ) × [解析] 因为，所以椭圆的焦点在 轴上. （3）椭圆的方程为，则， .( ) × [解析] 由椭圆的方程为，得， . （4）方程 是椭圆方程.( ) × [解析] 当时， 是圆的方程. 探究点一 椭圆的定义及应用 例1（1）已知，是椭圆的两个焦点，过点 且斜 率为的直线与椭圆交于，两点，则 的周长为( ) A.8 B. C. D.与 有关 [解析] 由题知 ，由椭圆的定义可得 ， ， 因为，所以的周长为 .故选C. √ （2）已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且 ，则 ___. 2 [解析] 由题意可知. 因为椭圆的焦点在 轴上，所以，， 又因为，所以， . 由椭圆的定义可知，因为 ，所以 . 变式（1）已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点 的距离 为4，是线段的中点，为坐标原点，则线段 的长度是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 [解析] 因为椭圆的方程为,所以,可得, 设 为椭圆的另一个焦点,则中,,分别为和 的中点, 所以, 又因为点在椭圆上,所以 , 所以,故 . √ （2）［2025·河南郑州高二期中］设为椭圆 上一动点， ,分别为椭圆的左、右焦点，，则 的最小值 为( ) A.8 B.7 C.6 D.4 √ [解析] 如图，连接 ,因为 ， 所以， 由图知，当 ,, 三点共线，且点在,之间时， 的值最小，最小值为, 此时 取得最小值 .故选B. ［素养小结］ （1）椭圆上一点
与椭圆的两焦点
，
构成的
称为焦点三 角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义及 三角形中的正弦定理、余弦定理等知识. （2）椭圆问题中如果涉及椭圆上的点
到焦点
的距离问题，就需 要考虑到椭圆的定义及应用. 探究点二 椭圆的标准方程 例2（1）（多选题）［2025·广东佛山高二期中］ 已知曲线 ，则下列结论正确的有( ) A.若，则是焦点在 轴上的椭圆 B.若，则 是圆 C.若，则是焦点在 轴上的椭圆 D.若，则是两条平行于 轴的直线 √ √ √ [解析] 由可得. 对于A，若 ，则，所以是焦点在轴上的椭圆，故 A正确； 对于B，若 ，则曲线，所以是圆 ... ...
