本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1 (1)A (2)D [解析] (1)设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A. (2)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为,故===,化简可得(a-)2=0,故a=,∴双曲线的方程为-=1. 变式 (1)B (2)ACD (3)x2=-4y [解析] (1)由题意得2a=10,解得a=5,因为离心率e==2,所以c=10,b==5,故双曲线方程为-=1.设A(m,n)(m>0,n>0),则B(m,-n),D(-m,n),连接AB,AD,因为AB=2n=30,所以n=15,则-=1,可得m=10,故AD=2m=20,即点A,D之间的距离为20 cm.故选B. (2)因为α∈(0,π),所以cos α∈(-1,1).对于A,当cos α=0时,曲线C:x=±1为两条直线,故A正确;对于B,假设曲线C是圆,则cos α=1,矛盾,故曲线C不可能是圆,故B错误;对于C,当 cos α∈(0,1)时,曲线C方程可化为x2+=1,且>1,表示焦点在y轴上的椭圆,故C正确;对于D,当cos α∈(-1,0)时,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,故D正确.故选ACD. (3)根据题意,该抛物线开口向下,故设其方程为x2=-2py(p>0),因为抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,所以M到准线y=的距离也为5,即+4=5,解得p=2,故抛物线方程为x2=-4y. 题型二 例2 (1)C (2)ABD (3) [解析] (1)Q为PF2的中点,且F1Q⊥PF2,则PF1=F1F2=2c,由椭圆的定义得PF1+PF2=2a,则PF2=2a-2c,又Q为PF2的中点,所以PQ=a-c,因为F1Q=b,所以由勾股定理可得F1Q2+PQ2=P,即b2+(a-c)2=(2c)2,又b2+c2=a2,所以2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,解得e=或e=-1(舍).故选C. (2)点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD. (3)∵|AB|=10,∴|AF2|=5,又∵|AF1|=13,AF2⊥F1F2,∴|F1F2|==12,∴2c=12,∴c=6.∵2a=|AF1|-|AF2|=8,∴a=4,∴e==. 变式 (1)AB (2) [解析] (1)设AF1=BF2=2AF2=2m,则AB=AF2+BF2=3m,由双曲线的定义知,AF1-AF2=2m-m=2a,即m=2a,BF1-BF2=2a,即BF1-2m=2a,∴BF1=3m=AB,则∠AF1B=∠F1AB,故选项A正确;由余弦定理知,在△ABF1中,cos∠AF1B===,在△AF1F2中,cos∠F1AB=== cos∠AF1B=,化简整理得12c2=11m2=44a2,∴离心率e===,故选项B正确;双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,即y=±x,即y=±x,故选项C错误;假设原点O在以F2为圆心,AF2为半径的圆上,则c=m=2a,与=相矛盾,故选项D错误.故选AB. (2)由已知可得A(a,0),B(0,b),F(c,0),线段AF的垂直平分线方程为x=,过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,所以该圆圆心坐标为,该圆的半径为,所以经过A,B,F三点的圆的方程为+(y-b)2=,因为A(a,0)在该圆上,所以+(0-b)2=,整理得b2=ac,所以a2-c2=ac,所以c2+ac-a2=0,又C的离心率e=,所以e2+e-1=0,由0
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