微突破(十一) 函数的零点问题 例1 解:函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)ex, 所以当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,当x∈(-2,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=-2处取得极小值,也是最小值,最小值为f(-2)=-. 令f(x)=0,得x=-1,可知当x<-1时,f(x)<0, 当x>-1时,f(x)>0,且f(x)的图象经过点,(-1,0),(0,1). 当x→-∞时,与一次函数相比,指数函数增长更快,从而f(x)=(x+1)ex→0; 当x→+∞时,f(x)→+∞,f'(x)→+∞.根据以上信息,画出f(x)的大致图象(横、纵坐标单位长度不同),如图所示. 函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数为f(x)的图象与直线y=a的交点个数,所以关于函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数有如下结论: 当a<-时,零点的个数为0; 当a=-或a≥0时,零点的个数为1; 当-
0,解得x<-1或x>1,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增.当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=-<0,易知f(x)在(-∞,0)上没有零点.当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=-<0,且f=>0,f(2)=>0,可知f(x)在(0,+∞)上有2个零点.综上所述,f(x)的零点个数为2.故选B. 例2 解:令f(x)=0,得ex=a(x+2), 即=, 设φ(x)=,则函数y=的图象与函数φ(x)=的图象有两个交点. φ'(x)=, 则当x∈(-∞,-1)时,φ'(x)>0, 当x∈(-1,+∞)时,φ'(x)<0, 所以φ(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减, 所以φ(x)max=φ(-1)=e, 又φ(-2)=0,当x→-∞时,φ(x)→-∞,当x→+∞时,φ(x)→0, 当x>-2时,φ(x)>0, 所以可作出φ(x)的大致图象,如图所示, 又函数y=的图象与φ(x)=的图象有两个交点,所以由图可知0<, 所以a的取值范围是. 变式 (-∞,0]∪(4,+∞) [解析] f(x)=ax3-3x+1的定义域为R,f'(x)=3ax2-3,则当a≤0时,f'(x)=3ax2-3<0恒成立,故f(x)=ax3-3x+1在R上单调递减,又f(0)=1>0,f(1)=a-2<0,所以由零点存在定理得,存在唯一的x0∈(0,1),使得f(x0)=0,满足要求.当a>0时,由f'(x)=3ax2-3>0得x>或x<-,由f'(x)=3ax2-3<0,得-0,所以f(x)在(-∞,0)上存在一个零点,又函数f(x)=ax3-3x+1存在唯一的零点,所以只需f=-3+1>0,解得a>4,满足a>0.综上,实数a的取值范围是(-∞,0]∪(4,+∞). 例3 证明:f'(x)=-=. 设h(x)=ex-a-,则h(x)=ex-a-1-,易知h(x)在(1,+∞)上单调递增,当x→1+ 时,h(x)→-∞, 因为a>,所以h(a+1)=e-1->0,所以存在x0∈(1,a+1),使得h(x0)=-=0, 当x∈(1,x0)时,h(x)<0,则f'(x)<0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减, 当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0, 则f'(x)>0,所以f(x)在(x0,+∞)上单调递增, 故x=x0是函数f(x)=-ln x+ln(a+1)(a>0)的极小值点,也是最小值点,则f(x)≥f(x0)=-ln x0+ln(a+1),又因为=, 所以f(x0)=-ln x0+ln(a+1),即证-ln x0+ln(a+1)>, 即证-ln x0>-ln(a+1). 设g(x)=-ln x,则g(x)=-ln x在(1,+∞)上单调递减, 因为x0∈(1,a+1),所以g(x0)>g(a+1),故-ln x0>-ln(a+1), 故对任意x>1,f(x)>. 变式 解:(1)函数f(x)=ln x+(a-1)x+a+1(a∈R),定义域为(0,+∞), f'(x)=+a-1=. ①当a≥1时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,没有极值. ②当a<1时,由f'(x)=0,得x=, 则当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减. ∴f(x)的极大值为f=a-ln(1-a),无极小值. 综上讨论得,当a≥1时,f(x)无极值; 当a<1时,f(x)有极大值a-ln(1-a),无极小值. (2)证明:当a≤1时,要证ex-f(x)>0,即证ex>f(x),只需证ex>ln x+2. 令h(x)=ex-ln x,则h'(x)=ex-, 令m(x)=ex-,则m'(x)=ex+>0,∴h'(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h'=-2<0,h'(1)=e-1>0,∴方程ex-=0有唯一解x0,且x0∈,即=, ... ... 